Erdkrümmung?

[Gast_324133]

Um die Verwirrung komplett zu machen: Das Beispiel mit dem Reifen ist auch nicht ganz zielführend. Die Linie, die der Reifen im Bild bilden würde enspricht einer gedachten Linie auf der Erde, die von einem Punkt links im Bild am Horizont bis zum Entsprechenden nach rechts im Bild hinter dem Horizont veläuft, und einem Großkreis auf der Erdoberfläche entspricht. Sichtbar wäre diese Line aber nicht, da aufgrund der Kugelgestalt der Erde vor dieser Linie ein "Buckel" der Kugeloberfläche die Sicht versperrt.

Die Linie ist sichtbar und entspricht dem Horizont, wenn man sich auf einer Senkrechten zum Kreismittelpunkt im Kreis-auf-Papier-Beispiel bzw. auf der gedachten Drehachse des Hula-Hoop-Rings befindet. Und sie ist von fast jedem Punkt dieser Senkrechten aus als gebogene Linie (wenn man weit genug weg ist, als Kreis) sichtbar. Einzig vom Mittelpunkt (bzw. einer gedachten Nabe des Hula-Hoops-Rings) aus würde diese Linie als Gerade erscheinen, aber von da aus kann man sie nicht sehen (weil man sich unter Tage befände).
(Der Kreismittelpunkt muss dabei nicht der Kugelmittelpunkt sein, die Linie kann also auch einem beliebigen Kleinkreis entsprechen.)

 

[Woody_23]

Um die Verwirrung komplett zu machen: Das Beispiel mit dem Reifen ist auch nicht ganz zielführend. Die Line, die der Reifen im Bild bilden würde enspricht einer gedachten Linie auf der Erde, die von einem Punkt links im Bild am Horizont bis zum Entsprechenden nach rechts im Bild hinter dem Horizont veläuft, und einem Großkreis auf der Erdoberfläche entspricht. Sichtbar wäre diese Line aber nicht, da aufgrund der Kugelgestalt der Erde vor dieser Linie ein "Buckel" der Kugeloberfläche die Sicht versperrt. Diesr "Buckel" enstpricht der sichtbaren Horizontline, und ist durchaus als Krümmung wahrzunehmen.

Der Reifen liegt nicht HINTER dem Horizont, sondern liegt genau AUF dem Horizont. Hiermit kann man dann erklären, warum der Horizont bei ausreichender Höhe nicht mehr geradlinig, sondern gebogen verläuft.

Allerdings muss man auch beachten, dass der Horizont bei Höhenveränderungen sich ändert, und somit der Durchmesser des Rings auch variabel ist.

Der Radius des Ringes steigt aber auch in Abhängigkeit des Planetenradius an. der Maximalwert des Ringradius ist bei unendlicher Entfernung gleich dem Planetenradius. Somit ist die nachweisbare Krümmung der Horizontlinie auf Augenhöhe über einem Planet in Fußballgröße deutlich höher, als auf einem Planetriesen.
Mit Hilfe von einigen Matheformeln sollte es also möglich sein anhand der Krümmung des Horizonts und der Höhe über 0 zu errechnen, welchen Durchmesser der Planet hat.

 

[Yoda]

Hiermit kann man dann erklären, warum der Horizont bei ausreichender Höhe nicht mehr geradlinig, sondern gebogen verläuft.

Nicht die Größe des Reifens, sondern der eigene Standort und damit die betrachtete Länge des (Erd-)Bogens sind entscheidend.

Allerdings muss man auch beachten, dass der Horizont bei Höhenveränderungen sich ändert, und somit der Durchmesser des Rings auch variabel ist.

Der Durchmesser des Rings ist variabel - und nicht direkt relevant.
Relevant ist und bleibt, wie viel des Erdumfangs man im Bild hat.
Entscheidend ist also, wie groß das Teilstück des betrachteten Erdballs ausfällt. Und Letzteres wird mit zunehmender Entfernung des eigenen Standorts größer und die Krümmung dadurch entsprechend sichtbarer.

Im Gegensatz dazu verliefe die Theorie mit den "Sichtbarkeitskreisen" - wie schon beschrieben - genau anders herum und führt daher zu falschen Schlüssen:
Mit steigender Sichtbarkeit (z.B. Radius 440 Km anstatt 220 Km) würde man eine geringere Krümmung sehen müssen (weil der viel größere Kreis signifikant weniger stark gekrümmt ist) - aber es ist eben genau anders herum:

Weil man mehr von dem Erdbogen sieht, entdeckt man dann deren Krümmung immer deutlicher.

Steigt mein Sichtbarkeitsradius stetig an, wird der Bogen dieses Kreises immer gerader.
Das ist aber nicht entscheidend, sondern:
Je mehr Sichtbarkeit gegeben ist - also je mehr ich überblicke - umso krummer wird die Erde erscheinen.
Das zieht sich unendlich so weiter, bis dass ich schlussendlich nur noch einen Punkt sehe.

Der Radius des Ringes steigt aber auch in Abhängigkeit des Planetenradius an. der Maximalwert des Ringradius ist bei unendlicher Entfernung gleich dem Planetenradius. Somit ist die nachweisbare Krümmung der Horizontlinie auf Augenhöhe über einem Planet in Fußballgröße deutlich höher, als auf einem Planetriesen.
Mit Hilfe von einigen Matheformeln sollte es also möglich sein anhand der Krümmung des Horizonts und der Höhe über 0 zu errechnen, welchen Durchmesser der Planet hat.

Fast.
Der Maximalradius ist natürlich genau genommen noch größer.
Und wenn ich über den Planetenradius hinaus steigere, so wird die Erde kleiner - und damit aufgrund sinkenden Radius`immer krummer und krummer.
Nähere ich mich der Erde wieder, so wird sie immer weniger und weniger krumm, bis dass ich irgendwann wieder vor einem Stückchen Erde stehe, das gerade erscheint.

 

[Gast_165699]

Im Gegensatz dazu verliefe die Theorie mit den "Sichtbarkeitskreisen" - wie schon beschrieben - genau anders herum und führt daher zu falschen Schlüssen:
Mit steigender Sichtbarkeit (z.B. Radius 440 Km anstatt 220 Km) würde man eine geringere Krümmung sehen müssen (weil der viel größere Kreis signifikant weniger stark gekrümmt ist) - aber es ist eben genau anders herum:

Nur nochmals zur Sicherheit: die 220 bzw. 440 km sind natürlich nicht ein Maß für die Erdkrümmung.
Die falschen Schlüsse kann man auch vermeiden wenn man sich vor Augen hält dass man auf den größeren Radius unter einem viel weniger flachen Winkel blickt: 2 Grad beim 220er, entsprechend mehr und dadurch stärker sichtbare Krümmung beim größeren.

 

[FaceGB]

Bliebe jetzt nur mehr die genaue Berechnung ab welcher Entfernung von der Erdoberfläche der Effekt auch wirklich nachhaltig sichtbar wird.

Was an der Sache mit der Krümmung mich mindestens genauso fasziniert, ist die Tatsache dass man selbst den Gipfel des Mount Everest vom Meer aus bei besten Sichtbedingungen nur aus maximal rund 330km Entfernung sehen kann.

 

[Yoda]

Bliebe jetzt nur mehr die genaue Berechnung ab welcher Entfernung von der Erdoberfläche der Effekt auch wirklich nachhaltig sichtbar wird.

Die Erdkrümmung?
Irgendwas zwischen 80 und 100 Km Höhe, so viel ich weiß.
Lässt sich möglicherweise aber auch noch konkreter eingrenzen bzw. berechnen.

 

[Yoda]

Nur nochmals zur Sicherheit: die 220 bzw. 440 km sind natürlich nicht ein Maß für die Erdkrümmung.

Nee - natürlich nicht.

Die falschen Schlüsse kann man auch vermeiden wenn man sich vor Augen hält dass man auf den größeren Radius unter einem viel weniger flachen Winkel blickt: 2 Grad beim 220er, entsprechend mehr und dadurch stärker sichtbare Krümmung beim größeren.

Am genauesten bekommt man die Krümmung der (senkrechten) Horizontscheibe zu sehen, wenn der Winkel 0 Grad beträgt (man also frontal drauf schaut) - man muss nur weit genug weg vom Horizont.
aber:
Da die Erde ja eine Kugel - also fürs theoretische Modell - und keine Scheibe ist (die winkelabhängig zur Ellipse werden würde) ist der Winkel nicht wichtig, sondern eben a) das betrachtete Teilstück Erdbogen bzw. b) die Entfernung des Betrachters.

Um das Thema hier aber mit genügend Fotobezug weiter erörtern zu können, ist es angebracht, dass das hier im Weiteren auch wieder mehr im Hinblick auf Bilder/Aufnahmen/Beispiele aus dem Bereich Fotografie hinausläuft, da die Grundthematik ansonsten in anders ausgerichteten Themen korrekt aufgehoben und hier eher deplatziert ist.

 

[Gast_165699]

So ganz trivial scheint das Ganze wohl nicht zu sein...

Auch hier gehen die Meinungen auseinander: von ja, gekrümmt bis nein, und wenn dann ist es Objektivverzeichnung.
In einer ruhigen Viertelstunde habe ich mir das Ganze nochmals durch den Kopf gehen lassen.

Voraus eines:
Es geht mir gar nicht darum ob auf einem Foto eine etwaige Krümmung exakt dem Zahlenwert des Erdradius entspricht. Es geht bloß darum, ob überhaupt irgendeine Krümmung sichtbar werden kann, und wenn ja unter welchen Voraussetzungen - etwa im Bereich hoher Berge oder Flughöhen von Flugzeugen.

Was ich in Posting Nr. 7 angenommen habe - nämlich dass wenn der Horizont in jeder beliebigen Himmelsrichtung um das gleiche Winkelmaß unter meinem Standort liegt er deswegen auf Fotos daher auch horizontal und gerade erscheinen muss - war ein Trugschluss; er kann, obwohl der Winkel tatsächlich überall gleich ist durchaus gekrümmt erscheinen. Begründung:

Angenommen ich stehe auf dem Mittelpunkt eines Fußballfelds. Wenn ich dort ein Stativ aufbaue und mit waagrecht ausgerichteter Kamera ein Foto mache, erscheint der Mittelkreis auf dem Foto dennoch gebogen - obwohl er, genauso wie der Horizont in jeder Richtung um den selben Betrag tiefer liegt als meine Kamera.

Was mich zu folgender Analogie führt:
Angenommen innerhalb dieses Mittelkreises (Radius 9,15 m) leben Ameisen - um das Ganze in einen halbwegs passenden Maßstab zu setzen. Der Mittelkreis ist ihr Horizont*: alles was außerhalb ist können sie nicht sehen. Weiter angenommen diese Ameisen könnten fotografieren: wie hoch müssten sie dazu klettern um ein Foto präsentieren zu können, auf dem der Mittelkreis nicht als gerader Strich, sondern deutlich gebogen erscheint?

*) Es bestehen zwar Unterschiede, diese tun aber dem Vergleich keinen Abbruch:
Natürlich ist unsere Erdoberfläche nicht eben, sondern eine Kugelkalotte innerhalb des Horizonts; nehmen wir also an auch das Fußballfeld sei in der Mitte ein paar cm höher, dann passt es wieder.
Und der Rasdius des Horizonts ist auch nicht konstant, sondern vergrößert sich mit zunehmender Höhe; also sei auch der Mittelkreis variabel im Durchmesser.

 

[parallelrechner]

Angenommen innerhalb dieses Mittelkreises (Radius 9,15 m) leben Ameisen - um das Ganze in einen halbwegs passenden Maßstab zu setzen. Der Mittelkreis ist ihr Horizont*: alles was außerhalb ist können sie nicht sehen. Weiter angenommen diese Ameisen könnten fotografieren: wie hoch müssten sie dazu klettern um ein Foto präsentieren zu können, auf dem der Mittelkreis nicht als gerader Strich, sondern deutlich gebogen erscheint?

Ohne Angabe der Brennweite und der Sensorauflösung ist diese Frage nicht beantwortbar. Und selbst mit diesen Angaben braucht man viel Papier für die Rechnungen....

 

[WOST]

Hi, nochmal..habt Ihr irgendwie schon mal in Betracht gezogen, daß die Erde eine Kugel (o. Kartoffel) ist? (Mittlerweile zweifelt selbst die Kirche nicht mehr dran). Also.. bei genügend Betrachtungsabstand wird die Krümmung sehr sicher auf einer Fotographie erkennbar sein. Gibt ja bereits genügend Aufnahmen. Ciao, W.

 

[Gast_165699]

Jaa, dass die Erde eine Kugel ist wissen wir.
Auch ich habe es schon ganz zu Beginn zugegeben - etwa in Posting #7 erster Absatz.

Aber das hilft bei der Frage nicht so recht weiter: es ging darum ob man auf einem von der Erdoberfläche aus aufgenommenen Foto eine solche Krümmung sichtbar sein kann oder nicht.

 

[Yoda]

es ging darum ob man auf einem von der Erdoberfläche aus aufgenommenen Foto eine solche Krümmung sichtbar sein kann oder nicht.

Die Antwort lautet:
Nein -> Die (Erd-)Krümmung ist von der Erdoberfläche aus nicht sichtbar.

Sämtliche Aufnahmen, die dies vermuten lassen, sind eine irreführende bzw. optische Täuschung, bei der eben Verzeichnungen auftreten.

Um eine reale Krümmung zu erkennen, muss man (sehr) hoch hinaus.
(Wie hoch genau, das kann ich nicht sagen.)

Der "Erste", der die Erdkrümmung "abgelichtet" hat, war Alexander Dahl.
Dies geschah 1933 in einer Höhe von 11300 Metern.
aber:
Auch hier ist Verzeichnung gegeben.
Also bitte nicht täuschen lassen und nun meinen, dass all die Aufnahmen aus Flugzeugen und ~11 Km Höhe also doch eine "reale Krümmung" darstellen.

--> Dem ist nicht so.

Wer meint, er hätte am Strand oder in der Wüste oder auf dem Berg oder aus dem Flugzeug heraus die Krümmung abgelichtet, der täuscht sich.

Warum das so ist:
Eine (bzw. jede) gerade Linie wird durch Objektive gekrümmt dargestellt, wenn sie nicht durch die optische Achse der Kamera verläuft.
Wenn der Horizont oberhalb der optischen Achse liegt, so erscheint er konvex gekrümmt.
Wenn er unterhalb liegt, erscheint er konkav gekrümmt.

Um eine (reale!) Krümmung auch nur "andeutungsweise" bzw. "erahnbar" abzulichten, muss man definitiv den Erdboden verlassen.
Meines Wissens nach ist dafür sehr weit in die Stratosphäre (also sehr deutlich oberhalb 15 Km Höhe) aufzusteigen.
Ich denke, dass Regionen etwa in Höhen um 50-100 Kilometer notwendig sind, wenn man wirklich von mehr als nur "Erahnen" sprechen möchte.
Ein weiterer Faktor ist auch das Auflösungsvermögen.

 

[parallelrechner]

Die Antwort lautet:
Nein -> Die (Erd-)Krümmung ist von der Erdoberfläche aus nicht sichtbar.....

Sorry, aber das ist teilweise nicht korrekt.

Gegenargument 1: Der Praktiker - Du siehst die Erdkrümmung mit dem unbewaffneten Auge, wenn Du am Strand stehst und beispielsweise eine gerade Kante (Buch, Lineal) als Referenz in das Blickfeld hälst. Probier es aus!

Gegenargument 2: Der Mathematiker - wie ich schon exakt aufgezeigt habe (Post #6 ), ist die Krümmung nur innerhalb der Horizontebene gleich null. Für jeden Punkt außerhalb der Horizontebene ist sie ungleich null, also vorhanden (wenngleich möglicherweise sehr klein).

Gegenargument 3: Der Zahlenknecht - Du kannst den ganzen Mist mit viel sinus und Pythagoras und einem (zuvor leeren) Blatt Papier durchrechnen. Als Beispiel habe ich eine Entfernung zum Horizont von 1000m durchgerechnet. Bei sehr viel kleineren Entfernungen reicht die 16bit Rechengenauigkeit meines Taschenrechners nicht aus. Also, Entfernung zum Horizont: 1000m. Damit Du den Horizont in dieser Entfernung sehen kannst, musst Du in einer (Augen-)Höhe von 0,078m über dem Erdboden stehen, also knappe 8cm. Nimmst Du ein Sichtwinkel/horizontalen Bildwinkel von 45 Grad an, dann ist Deine Gegenstandsweite in 1000m Entfernung 2000m. Aufgeteilt auf 6000 Pixel bedeutet das, das ein Pixel ca. 33cm entspricht. Aufgrund der Erdkrümmung (2. Hälfte vom zuvor leeren Blatt) ist der Erdboden am rechten Bildrand ebenfalls 8cm unter dem Horizont in der Bildmitte, und natürlich auf gleicher Höhe wie der Horizont am linken Bildrand. Um das ganze optisch aufzulösen (8cm in 1000m Entfernung), bräuchtest Du einen Sensor mit ca. 4-5mal so großer Auflösung in der Vertikalen, also ca 6000x30000 Pixel oder 180 Megapixel. Gibt es (noch) nicht! Daher meinen Hinweis auf Brennweite und Sensorauflösung in Post #69 nn.

In der Realität machen Dir Abbildungsfehler auf eine Horizontentfernung von 1000m natürlich einen Strich durch die Rechnung (bzw eine gebogene Linie durchs Bild).

Viel Spass beim nachrechnen!

 

[Yoda]

Gegenargument 1: Der Praktiker - Du siehst die Erdkrümmung mit dem unbewaffneten Auge, wenn Du am Strand stehst und beispielsweise eine gerade Kante (Buch, Lineal) als Referenz in das Blickfeld hälst. Probier es aus!

Ich kann mich z.B. bestens an den Strand von Kuba erinnern und habe da keine Krümmung gesehen. Gleiches gilt aber auch für meine Besuche anderer Strände, ob nun in Asien oder in der Türkei oder auf dem nahen Ameland. Bei mir scheint das Experiment also nicht zu funktionieren bzw:
Wenn, dann ergeben sich Krümmungen aufgrund des optischen Systems.
Das sind keine realen Krümmungen, die man dann erkennt.

Ich sehe z.B. hier oder auch hier - egal ob mit oder ohne Linieal - keine reale Krümmung.
Hier - indem ich den Horizont weiter aus der Kameraebene nehme - sehe ich plötzlich eine Krümmung. Das ist (und bleibt) aber Verzeichnung.

Für jeden Punkt außerhalb der Horizontebene ist sie ungleich null, also vorhanden (wenngleich möglicherweise sehr klein).

Natürlich ist eine Krümmung vorhanden, weil die Erde eine Kugel ist.
Aber sie ist nicht "sichtbar".

Gegenargument 3: Der Zahlenknecht - Du kannst den ganzen Mist mit viel sinus und Pythagoras und einem (zuvor leeren) Blatt Papier durchrechnen. Als Beispiel...
...
Also, Entfernung zum Horizont: 1000m. Damit Du den Horizont sehen kannst, musst Du in einer (Augen-)Höhe von 0,078m über dem Erdboden stehen, also knappe 8cm. Nimmst Du ein Sichtwinkel von 45 Grad an, dann ist Deine Gegenstandsweite in 1000m Entfernung 2000m. Aufgeteilt auf 6000 Pixel bedeutet das, das ein Pixel ca. 33cm entspricht. Aufgrund der Erdkrümmung (2. Hälfte vom zuvor leeren Blatt) ist der Erdboden am rechten Bildrand ebenfalls 8cm unter dem Horizont in der Bildmitte, und natürlich auf gleicher Höhe wie der Horizont am linken Bildrand. Um das ganze optisch aufzulösen (8cm in 1000m Entfernung), bräuchtest Du einen Sensor mit ca. 4-5mal so großer Auflösung in der Vertikalen. Gibt es (noch) nicht

Absolut korrekt ist dabei, dass auf die 2000m der Erdboden links und rechts minimalst tiefer liegt, aber:

Nun. Und da haben wir den springenden Punkt.

Wenn ich also nun 6000 Pixel für die Aufnahme habe (bspw. also eine aktuelle 24MP-Kamera), dann besagt das Beispiel doch eindeutig, dass ich mit einem Pixel 33cm Höhenunterschied zwischen Bildmitte und Bildrand darstellen könnte/würde, dass die rechnerische reale Krümmung aber lediglich 8cm sind.
Wie bitte soll ich also diesen Bruchteil eines Pixels in einer Aufnahme darstellen geschweige denn erkennen können?
Eben - wie Du selbst sagst:
Das geht gar nicht und es bedarf (allein für die Darstellung) eine signifikant höhere vertikale Auflösung.

Wenn also selbst ein Pixelchen das nicht darstellen kann, dann erkennt das menschliche Auge das im Bild schon gar nicht...
...und um Dimensionen zu erreichen, bei denen das erkannbar wird, muss man eben hoch hinaus (und den Erboden verlassen).

ergo:
Die Aufnahmen, die da eine erkennbare Krümmung zeigen, zeigen Verzeichnungen und nicht eine reale Krümmung.

 

[parallelrechner]

Nun. Und da haben wir den springenden Punkt.

Rechne Dir die Fakten bitte selbst aus:
In 8cm Bodenhöhe schaust Du 1000m weit und die Horizontkrümmung beträgt (für die 24MP-Kamera) 0,2 Pixel, ist also mit dieser Kamera nicht nachweisbar.

In 9,50m Bodenhöhe schaust Du 11000m weit und die Horizontkrümmung beträgt bereits 3 Pixel, ist also knapp nachweisbar.

In 785m Bodenhöhe schaust Du 100km weit und die Horizontkrümmung beträgt 30 Pixel, ist also deutlich sichtbar.

 

[KHZ]

Irgendwie verstehe ich das ganze Problem nicht

Ich stelle mich mitten auf dem Ozean auf das Wasser (die Erde sei kugelrund und ich kann übers Wasser gehen) Wenn der Horizont gekrümmt ist (hier zur rechten Seite) folge ich mit meinem Blick 360° weit und komme trotz Krümmung wieder auf gleicher Höhe raus!?
Wo liegt mein Denkfehler?
Warum sollte irgendein Punkt höher sein als ein anderer? Er wird doch durch nichts von den anderen Punkten unterschieden, außer dass er genau in der Mitte meines Blickfeldes ist.
Grübel grübel

Karl