Oder liefern solche Objektive auch bei gleicher Blende mit gleicher Belichtungszeit an sich schon deutlich bessere Fotos?
Da muss man Theorie und Praxis unterscheiden. Theoretisch und in normierten Tests wird das teure Objektiv auch bei geschlossener Blende meistens (nicht immer) irgendwelche messbaren Vorteile haben. Es gehört ja nun zum Wesen eines Tests, dass feine Unterschiede herausgearbeitet werden. Ob diese Unterschiede, wenn es welche gibt, in der Praxis eine Rolle spielen, hängt dann aber von vielen Faktoren ab (Motiv, Art der Bildverwendung, Ausgabeformat, Ansprüche/Geschmack der Betrachter etc.).
Man vergisst leicht, dass je nach Anwendung viele Qualitätsvorteile komplett untergehen und damit Unterschiede zwischen Objektiven nivelliert werden (plakatives Beispiel: Man fotografiert mit 45 Megapixeln und gibt das Bild dann per WhatsApp weiter, wo es auf ca. 2 MP reduziert wird). Selbst in den Fällen, wo die Unterschiede im Direktvergleich zu sehen sind, ist es oft fraglich, ob man sie auch ohne Direktvergleich noch wahrnehmen würde.
Ebenso wird leicht vergessen, dass die optischen Qualitäten eines Objektivs immer nur ein Sahnehäubchen auf ein ohnehin gut gemachtes Bild sein können (und zwar ein Sahnehäubchen, das erfahrungsgemäß 95 % der Betrachter nicht zu würdigen wissen). Natürlich freut man sich als Kenner, wenn das Bokeh einer Porträtaufnahme noch etwas sahniger ausgefallen ist oder man zuhause am großen Monitor in 100-%-Ansicht feststellt, dass man noch etwas mehr Schärfe am Bildrand erhalten konnte. In der Diskussion mit anderen Foto-Enthusiasten kann man sich prima darüber austauschen. Aber den meisten anderen Leuten, denen man die Fotos zeigt, ist das vollkommen wurscht. Da zählen andere Sachen viel mehr, die mit dem Objektiv nichts direkt zu tun haben (besonders das Motiv, aber auch Lichtverhältnisse etc.).
Man muss also sorgfältig überlegen, ob für die eigenen Zwecke eine höhere Auflösung in den Bildecken, ein weicheres Bokeh, eine glattere Anmutung dank niedrigem ISO-Wert etc. relevant ist. Kann ja im Einzelfall so sein. Aber dem stehen immer auch andere Argumente entgegen wie ein geringeres Gewicht der Ausrüstung (ein zu schweres Objektiv nimmt man nicht so gern mit), eine flexible Brennweite von Weitwinkel bis Supertele (nicht jedes Motiv lässt genug Zeit für Objektivwechsel) oder schlicht die Kosten (was Amateure für ihre Ausrüstung ausgeben, steht bekanntlich oft in keinem vernünftigen Verhältnis zu den Ergebnissen).
Konkret auf deine Situation hin, also Sportfotografie mit Nikon D5300 mit Tamron 18-400: Ich sehe hier nicht, dass das Objektiv deine Möglichkeichen nennenswert beschneidet oder eine schlechte Wahl wäre. Ein 2,8/70-200 würde dir wahrscheinlich nichts helfen, weil die Brennweite viel kürzer ist (und mit 2x Konverter bis du dann auch schon wieder bei Blende 5,6). Genug Freistellung hast du mit so langen Brennweiten sowieso immer. Die einzige Einschränkung ist, dass du bei schwachem Licht (z. B. Hallensport) früher mit dem ISO-Wert hochgehen musst. Aber was wäre die Alternative? Ein 300er oder 400er Tele mit Blende 4 oder gar 2,8? Abgesehen vom hohen Gewicht kriegst du mit größerer Offenblende ja auch eine niedrigere Schärfentiefe und damit voraussichtlich mehr Schärfe-Ausschuss- gerade mit einem einfachen Kameragehäuse wie der D5300. Da würde ich schon lieber beim vorhandenen Objektiv bleiben und erst mal softwaremäßig alles ausschöpfen, was es an guten Entrauschern gibt.
Wenn ich an deiner Ausrüstung eine Einschränkung für Sportfotografie sehe, dann liegt sie eher im D5300-Gehäuse mit seinem mittelmäßigen Autofokus und seinem winzigen Sucherbild. Ein besseres Gehäuse (D7500 oder gleich D500) würde hier wahrscheinlich noch einiges an Geschwindigkeit und Genauigkeit rausholen. Ein scharfes Bild mit einem "mittelmäßigen" Objektiv ist ungleich wertvoller als ein unscharfes Bild mit einem theoretischen Spitzenobjektiv.