Eine Formel für alle Situationen
… wie folgt:
α = Bildwinkel (Bilddiagonale)
SD = Sensordiagonale
fc = Brennweite (nichts auf KB-Äquivalenz-Aufgerechnetes)
α(max) = max. «erlaubter» Wanderwinkel eines Sterns
α' = effektive Wanderung eines Sterns in °/Sekunde, winkelabhängig zum Himmelspol
φ = Winkel zwischen Polarstern (bzw. südl. oder nördl. Himmelspol) und dem «Foto-Stern»
wobei es sich um jenen «Fotostern»
im Bild handeln soll, der dem Himmelsäquator am nächsten ist!
t(max) = max. Verschlusszeit, damit Sterne (φ vom Polarstern/Himmelspol entfernt) nicht als Strichlein, sondern noch knapp als Punkt wahrgenommen werden können
Der Bildwinkel (diagonal) ist wie folgt zu berechnen:
α = 2*arctan(SD/(2*fc))
Wanderung der Sterne pro Sekunde in Grad am Himmels-Äquator:
360/(24*60*60) = 1/240 [°/s]
«Erlaubter Winkel» für den Stern in ° gemäß Zo, dem max. zulässigen Zerstreuungskreisdurchmesser ≈ SD/1500[mm]:
α(max) = α/1500 [gemäß Zo = SD/1500]
Wanderung der Sterne effektiv in Abhängigkeit des Winkels zwischen Polarstern und dem «Foto-Stern»/Sekunde:
α' = 1/240*sin(φ)
t(max) = α(max)/α' =>
t(max) = 2*arctan(SD/(2*fc))/1500*240/sin(φ)
Zusammengefasst und vereinfacht ergo:
* * * * * * * * * * * *
α = 2*arctan(SD/(2*fc))
t(max) = α*0.16/sin(φ)
* * * * * * * * * * * *
Da der Himmelsäquator oftmals im Bild drin ist, können wir φ = 90°, also sin(φ) = 1 setzen, was dann zu jener Formel führt, die alle Sterne (auch die «schnellsten», jene im Himmelsäquator) bestimmt immer als Punkte und nicht als Strichlein abbildet:
t(max) = α*0.16 = α/6.25
Beispiel mit einem APS-C-Sensor:
Crop = 1.5; Brennweite fc = 20mm (= 30mm KB); φ sei z.B. = 70°
Sensordiagonale SD = 43.3/Crop = ca. 28.8mm
α = 2*arctan(28.8/(2*20)) = 71.6°
t(max) = α*0.16/sin(φ) = 71.6*0.16/sin(70) = 12s
Test:
In 12s wandern Sterne am Himmelsäquator 12/240° = 1/20° = 0.05°
Sterne 70° vom Polarstern weg wandern ca. 1/20*sin(70°) = 0.047°
Bildwinkel nach obiger Formel: α = 71.6° (Diagonal-Bildwinkel)
max. Winkel (für Sternstrich höchstens = Zo) = 71.6°/1500 = 0.0477°
Wanderung Fotostern ≤ max. erlaubter Winkel …
Et voilà …
Nach Testbildern rate ich aber, t(max) noch in etwa zu halbieren [t(max) = α/(12.5*sin(φ))] … im obigen Beispiel würde ich also max
6s belichten, damit der Stern 70° weg vom Polarstern nicht als Strichlein erkannt wird, sondern noch als Punkt
Und dies auch nur, wenn das Bild nicht zugeschnitten wird und der Bildbetrachtungsabstand in etwa so weit ist wie die Diagonale des (ausgedruckten) Bildes … Rainmaker No. 1 käme auf eine ähnliche max. Verschlusszeit
[t(max) ≈ 5*37,33/(f*sin(φ)*Cropfaktor) ≈ α/(12.5*sin(φ))] … Bei meiner Formel ist der Cropfaktor im Bildwinkel α «versteckt», und sie lässt alle Sensorgrößen samt Bildproportionen zu, mit α(exakt) = 2*arctan(SD/(2*fc*(m+1))) auch jede Brennweite, wobei m = fc/(g–fc) der Abbildungsmaßstab ist … und doch bleibt alles nur Abschätzung
Wer nicht die Grenzen des menschlichen Auges als Basis nehmen möchte, sondern die Grenzen des Sensors (Pixel, Auflösung), der kann einfach α(max) anders wählen, etwa statt = α/1500 jenen Winkel, der genau einen einzigen Pixel (oder zwei Pixel) einfasst:
Pixelpitch pp = SL*√(SB/SL/Pixel)
pp/(2*fc) = tan(α(max)/2) =>
α(max) = 2*arctan(pp/(2*fc))
α' = 1/240*sin(φ)
t(max) = α(max)/α'
… für obiges Beispiel wären dies mit einer 24MP-Kamera (24'000'000 Pixel) nur noch ca. 3s … (und dies ja nur approximativ, weil gleiche Winkel nicht gleiche Strecken auf dem Sensor generieren … )
Schließlich sei erwähnt, dass Verschlusszeiten über 60" (über 1 Min) zu sichtbaren Kontrastverlusten führen, selbst in recht dunkler Nacht, infolge Streu- und Fremdlichter …
Herzlich – Martin
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