MD Geist hat es im Wesentlichen schon beantwortet:
Wenn wenig Raum ist, brauchst Du an deiner D5100 den Weitwinkelbereich zwischen 17mm / 18mm und 24mm.
Mit einem Zoomobjektiv, das erst bei 24mm anfängt, bekommst Du eventuell in engen Räumen nicht so viel drauf, wie Du gern drauf hättest.
An einer FX-Kamera (Nikon D600, D610, D700, D750, D800, D810 usw.) bekommst Du mit 24mm soviel drauf wie an der D5100 mit 16mm, weil der Sensor der FX-Kamera größer ist. Da ist also 24mm noch weitwinkliger als die 17mm, die Du mit dem 17-50er an der D5100 erreichst.
Das 17-50er leuchtet allerdings den größeren Bildkreis nicht aus, sprich es ist nicht sinnvoll, das an einer FX-Kamera zu verwenden. Da eine FX-Kamera bei begrenztem Budget* sowieso nicht zur Debatte steht, stellt sich die Frage aber auch nicht.
*Gebrauchtpreis Pi mal Daumen: D700 (die günstigste weil schon in die Jahre gekommene) gebraucht ab 500€ aufwärts, 24-70mm Objektiv gebraucht noch etwas teurer, macht gebraucht in Summe auf jeden Fall über 1000€. Da kann man bei Kauf + Wiederverkauf leicht mal 100€-200€ verlieren...
Und leihen halte ich - wie zuvor begründet - für nicht sehr sinnvoll.
Ich hatte das Tamron 17-50 VC ("VC" = Bildstabilisiert, bei Sigma sind die Objektive mit "OS" bildstabilisiert und bei Nikkor die Objektive mit "VR") bis vor knapp 2 Jahren, als ich es gegen das 18-35er getauscht habe.
Hatte mich gebraucht im Jahr 2015 180€ gekostet (eBay Kleinanzeigen) und ich bin es im Jahr 2016 für 185€ los geworden.
Wichtig ist, dass Du ein Exemplar nimmst, das an deiner D5100 auch Autofokus hat, d.h. es muss einen eingebauten Motor haben.
Hier (klick mich) sind Objektive mit den genauen Bezeichnungen aufgelistet und in den Erläuterungen steht, welche davon einen Motor besitzen.
Natürlich ist es bei Kleinanzeigen geboten, den Verkäufer persönlich zu treffen und das Objektiv genau anzusehen und zu testen. Kratzer, Fungus, Staubpartikel, sonstige Mängel... kann man sich einfangen, wenn man in blindem Vertrauen per Vorkasse bezahlt - falls man dann überhaupt etwas bekommt.
Ich hoffe das gilt jetzt nicht als verbotener Handelstalk (Preisdiskussionen sind hier im Forum auch unerwünscht, aber eine ungefähre Größenordnung zu nennen (um mal zu sondieren ob es überhaupt infrage kommt) hielt ich für angebracht.
Vielleicht findet sich ja auch hier im Forum ein Angebot... schade dass ich meins damals so günstig verscherbelt habe... ich hätte es gerne für 200€ verkauft.