Sorry für die verspätete Antwort.
... - so so

- mit welchen Kameras und Objektiven hast Du aktuelle Erfahrungen?
Panasonic GX7, Olympus 45 1.8 / Lumix 12-35 2.8. Indoor Spielplatz mit meinem Kind. Noch Fragen? Probiere es einfach aus. Es ist nicht möglich, wenn die kleinen richtig Gas geben und man nicht gerade 10m weg steht. Ich habe noch eine D7100, die hat dort gar keine Probleme. Der Focus sitzt zwar nicht immer, aber zu 70%. Während die GX7 völlig versagt und teils keine 5% auf AFC liefert. Liegt auch sicher teils am Sucher, da der elektronische dort eben eine Verzögerung hat. Mit der DSLR ist man da präziser.
Die einzigsten Kameras, die das eventuell können heißen GH4 und EM1, welche außerhalb des TE-Budgets sind. Daher so geschrieben - am TE orientiert.
... - das kommt doch drauf an, welche Leistung man haben möchte - mit solchen pauschalen Aussagen währe ich sehr vorsichtig
Völlig korrekt. Dein Einwand ist auch berechtigt. Ich gehe hier vom Durchschnittskameraeinsteiger aus, der die eierlegende Wollmilchsau für alle Fälle braucht.
... - so so

- woher beziehst Du dieses Wissen
Das steht nicht nur auf jeder Seite von dxo bis schießmichtod, ich habe es sogar in der Praxis selbst getestet. MFT hat eine um 1 Blende niedrigere ISO-Leistung im Vergleich zur APSC-DSLR mit modernem Sensor (Sonysensoren). Das auch aufgrund der niedrigeren nativen ISO und somit auch mind. 1 Blende geringere Dynamik.
Ich gehe jetzt nicht davon aus, dass wenn wir über Sensorleistung bei DSLRs reden, dass wir über Canon sprechen.

Der bessere AF kommt durch den Phasen-AF, Erfahrung siehe oben.
Noch Fragen?
Man muss nicht immer Krümelkacken. Einiges ist absichtlich pauschal anhand der Anforderung des TE formuliert.
Aber er hat sich ja entschieden. Und damit auch ein Stückweit gegen Motive mit viel Action bei schlechtem Licht. Dann muss man halt etwas improvisieren oder mehr ballern, dass ein Bild mehr wird. Ist doch auch okay.