Die Böse, böse Pixelunschärfe: Fundamentaldebatte

[Gast_338619]

Die sinc-Funktion ist die, die das typische Beugungsscheibchen darstellt, also ein großes zentrales Maximum, daneben viele sehr schnell abfallende weitere lokale Maxima. Wenn Du mit der das Verhalten des AA-Filter beschreibst, machst Du einen Fehler, denn dessen Maxima fallen nicht ab, die sind alle gleich hoch (zumindest im idealisierten Fall).

Au weia.
Zunächst: Beugung zeigt sich als Fourier-Transformierte der Blendenform. Bei einer Kreisblende unterliegt das Beugungsscheibchen der Besselfunktion 1. Art. Eine sinc-Funktion wird das nur an geraden Blendenlamellen, und zwar weswegen? Richtig: weil die Fourier-Transformierte der Rechteckkurve sinc ist, schau hier. Und genau das gleiche ist auch das Sampling: eine Rechteckkurve.
Was glaubst du eigentlich, was das /x im sinc-Term bei Fourier-Transformierten macht? Richtig, die Oberwellen in ihrer Amplitude (also die Maxima) abnehmen lassen. Hast du dir denn noch nie eine Rechteckschwingung auf einem Spektrum Analyzer angeschaut? Alles andere wäre auch energetisch und entropisch ganz großer Blödsinn.

 

[Gast_338619]

Um das klarzustellen, dass das nicht missverstanden wird: Natürlich arbeitet das Sampling nur "auf dem jeweiligen Pixel" und das aber "bei jedem Pixel gleich". Faktisch ist es aber so, dass das Sampling der Aufnahme (inkl. Beugungsunschärfe) mathematisch eine Faltung ist, mit den Ergebnissen der 1. Funktion als Eingabewerten der 2. In unserem Fall sind die Eingabewerte der Samplingfunktion also natürlich nicht die "Pixel", sondern die Ortsfrequenzen und dann ist auch sofort anschaulich, warum die Maxima der sinc-Funktion streng nach den Regeln einer Fouriertransformierten eines Rechtecks abnehmen: weil der Sensor anderenfalls nochmal bei seiner doppelten Auflösung usw. usf. die gleiche MTF zeigen müsste.

 

[Gast_194966]

Ja, und das ist auch genau der Faktor im Unterschied der Brennweiten (19mm zu 52mm), den ich einstellen musste, um auf gleich große 1:1-Ansichten zu kommen.

Und es wäre sogar der Faktor in den Blendenzahlen, den Du einstellen müsstest, um vergleichbare Bilder zu bekommen. Also bspw. f/8 an der Olympus und f/22 an der Canon. Und die sehen sich ja auch relativ ähnlich, was zwar vielleicht "Pixelunschärfe" verdeutlicht, aber erst recht nicht über die Form der Addition dieser beiden Anteile entscheiden lässt.



Gruß, Matthias

 

[Stuessi]

...Stuessi... Kannst du eine Prinzipskizze machen und diese hier einstellen?

Der Aufbau ist ganz einfach. Einmal fotografiere ich direkt aus z.B. 6 m Entfernung (Bilder 1 bis 3) oder ich befestige das Objektiv an einem Mikroskop und fotografiere das Luftbild wieder aus 6 m Entfernung von der gleichen Position wie vorher.
An den Bildern kann man gut erkennen, dass 12 oder 16 MPixel auch bei Blende 22 mehr an Auflösung bringen als eine perfekte Aufnahme mit 6 MPixeln
bei Blende 5,6.

Gruß,
Stuessi

 

[Frank Klemm]

Die sinc-Funktion ist die, die das typische Beugungsscheibchen darstellt

Friedrich Wilhelm Bessel rotiert gerade im Grabe ...

2*j1(x)/x und sinc(x)-Funktionen sind ja auch so ähnlich, so dass sie nicht mal ein Profi auseinanderhalten kann ...
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Funktionen auf erste Nullstelle normiert.

 

[Gast_194966]

Friedrich Wilhelm Bessel rotiert gerade im Grabe ...

Es hatte eigentlich "...die MTF eines idealisierten Sensors..." heißen sollen.

2*j1(x)/x und sinc(x)-Funktionen sind ja auch so ähnlich, so dass sie nicht mal ein Profi auseinanderhalten kann ...

Toll, hast Du mich erwischt? Das musst Du unbedingt in großen bunten Bildern darstellen!


Gruß, Matthias

 

[Gast_338619]

Toll, hast Du mich erwischt? Das musst Du unbedingt in großen bunten Bildern darstellen!

Darf ich mich noch mal selbst zitieren?

die Frage war nicht Selbstdarstellung, sondern Pixelschärfe.

Oder kurz: nicht alles, was andere schreiben oder der Anschaulichkeit halber tun, hat mit dir zu tun.

 

[Frank Klemm]

Au weia.
Zunächst: Beugung zeigt sich als Fourier-Transformierte der Blendenform. Bei einer Kreisblende unterliegt das Beugungsscheibchen der Besselfunktion 1. Art. Eine sinc-Funktion wird das nur an geraden Blendenlamellen, und zwar weswegen? Richtig: weil die Fourier-Transformierte der Rechteckkurve sinc ist, schau hier.

Das ist aber ziemlich eindimensional betrachtet.
Das gilt nur für die beiden Hauptachrichtungen.

Im Winkel von 45° (hier kann man das Problem auch analytisch im Kopf lösen) verschiebt sich die Nullstele um sqrt(2) und der Abfall erfolgt mit 1/x² statt mit 1/x.

Und genau das gleiche ist auch das Sampling: eine Rechteckkurve.
Was glaubst du eigentlich, was das /x im sinc-Term bei Fourier-Transformierten macht? Richtig, die Oberwellen in ihrer Amplitude (also die Maxima) abnehmen lassen.

Das klingt so, als wenn der Term nur existiert, damit die Funktion schön asymptodisch abklingt.
Warum dieser Term existiert, hat aber eine andere Ursache. Er stammt aus der Bildung der Stammfunktion durch lineare Substitution.

Rechteck: sin(πx) / πx
Viertelkreis: j1(2πx) / πx

Mit einer 1D-FFT kann man das Problem in Kantenrichtung und in Diagonalrichtung für Blendenöffnungen mit geradzahliger Anzahl von Lamellen lösen. Man braucht nur die Bedeckung zu berechnen und diese
fourierzutransformieren. Wenn man sie vergleichen will, muss man sich nur vorher einigen, ob man auf gleiche Fläche, gleichen Innenkreis oder gleichen Außenkreis normieren will.

 

[Gast_338619]

Das ist aber ziemlich eindimensional betrachtet. Das gilt nur für die beiden Hauptachrichtungen.

Ja. Das ist das, was ich weiter vorne mit unterschiedlicher Auflösung je nach Betrachtungswinkel bezeichnet habe.

Im Winkel von 45° (hier kann man das Problem auch analytisch im Kopf lösen) verschiebt sich die Nullstele um sqrt(2) und der Abfall erfolgt mit 1/x² statt mit 1/x.

Richtig. Deswegen meine Grobschätzung, dass die "reale" Pixelauflösung dann irgendwo zwischen den beiden Kurven aus Masis ursprünglicher Zeichung liegt.

Das klingt so, als wenn der Term nur existiert, damit die Funktion schön asymptodisch abklingt.

Ja, blöd ausgedrückt. Ich habe es als "was wäre wenn" betrachtet: dann könnte die Fouriersynthese keine Rechteckkurve mehr liefern und damit wäre das ganze Konzept der Auflösung der Faltung über die MTF gesprengt. Und im physikalischen würde es den Energieerhaltungssatz sprengen, aber das ist hier natürlich nicht mehr relevant.

Mit einer 1D-FFT kann man das Problem in Kantenrichtung und in Diagonalrichtung für Blendenöffnungen mit geradzahliger Anzahl von Lamellen lösen. Man braucht nur die Bedeckung zu berechnen und diese fourierzutransformieren. Wenn man sie vergleichen will, muss man sich nur vorher einigen, ob man auf gleiche Fläche, gleichen Innenkreis oder gleichen Außenkreis normieren will.

 

[Bitterschoko]

Danke einmal für alle Theoretiker und Praktiker zu ihren Beiträgen zum Thema.

Was ich aber als Praktiker gerne anregen würde ist folgendes:

1.) Kann man die Modelle nicht eindimensional vereinfachen, also z. B. nur senkrechte Streifenmuster betrachten. Das würde mir als Elektroniker sehr entgegenkommen, da das direkt auf elektrische Signale (z. B. audiosignale) übertragbar wäre.
2.) Statt der MTF würde ich lieber einen Hell-Dunkel-sprung betrachten. Kommt elekrisch der Sprungantwort gleich. Wie verändert sich diese Sprungantwort bzw. schaut das Einschwingverhalten aus wenn man die Sinc- oder Besselfunction ab der 1. Nullstelle null setzt. Das zu vernachlässigen scheint mir nicht selbstverständlich, sollte doch nachgewiesen werden.

Diese Annahmen entsprechen mMn der Praxis mehr, da man doch eher einzelnen geraden Kontrastkanten als enge Strichmuster antrifft und wir hier nicht über Astronomiefotos diskutieren.

 

[Gast_194966]

1.) Kann man die Modelle nicht eindimensional vereinfachen, also z. B. nur senkrechte Streifenmuster betrachten. Das würde mir als Elektroniker sehr entgegenkommen, da das direkt auf elektrische Signale (z. B. audiosignale) übertragbar wäre.

Die MTF wird ja an einem Muster aus parallelen "Linien" mit sinusförmigem Helligkeitsverlauf definiert, wenn auch meistens anders gemessen. Wenn wir hier jetzt über die effektive Fläche (statt Breite oder Höhe) eines Pixels reden, hat wohl eher "trivailwissenschaftliche" Gründe. Es denken eben so viele Leute in Megapixeln.

2.) Statt der MTF würde ich lieber einen Hell-Dunkel-sprung betrachten. Kommt elekrisch der Sprungantwort gleich. Wie verändert sich diese Sprungantwort bzw. schaut das Einschwingverhalten aus wenn man die Sinc- oder Besselfunction ab der 1. Nullstelle null setzt. Das zu vernachlässigen scheint mir nicht selbstverständlich, sollte doch nachgewiesen werden.

Die MTF ist keine Sprungantwort, sondern ein Frequenzgang. Sie wird aber wirklich oft aus einer Sprungantwort, also einer Hell-Dunkel-Kante, berechnet.



Gruß, Matthias

 

[Bitterschoko]

Die MTF ist keine Sprungantwort, sondern ein Frequenzgang. Sie wird aber wirklich oft aus einer Sprungantwort, also einer Hell-Dunkel-Kante, berechnet.

Es wird hier aber immer nur mit MTF50 oder MTF10 argumentiert, dass sind aber nur 2 Punkte aus der gesamten Funktion und diese einzelnen Punkte sagen nichts über den Verlauf der Sprungantwort aus.

 

[messenger]

Das ist richtig. Die aussagekräftigere Form ist der komplette Graph: MTF in Abhängigkeit von der Auflösung.

Das macht z.B. die Color Foto so und beschreibt es zusätzlich als Kenngröße mit der Fläche unter der Kurve (als "Kontrastwert in %").

Aber das sind ja eh alles käufliche Möchtegernbescheidwisser....

Gruß messi

 

[Gast_194966]

Es wird hier aber immer nur mit MTF50 oder MTF10 argumentiert, dass sind aber nur 2 Punkte aus der gesamten Funktion und diese einzelnen Punkte sagen nichts über den Verlauf der Sprungantwort aus.

Klar, das ist so was wie die -3dB-Grenzfrequenz oder so. Der Rest der Frequenzgänge sieht dann eben aus wie eine sinc-Funktion (idealisierter Sensor), wie das oben beschriebene Verhalten des idealisierten AA-Filter oder wie diese hier für Beugung. Und all diese MTFs werden multipliziert und dann wird der neue -3dB-Punkt gesucht. Oder irgendein anderer, der für ein einfaches Modell ausreichend Aussagekraft hat. Und für solche Dinge gibt es die rein empirische "Kodak-Formel", die die Kehrwerte der "Auflösungen" miteinander verknüpft, jeweils mit einem empirisch bestimmten Exponenten. Ich komme aus rein statistischen Überlegungen auf den Exponent 2, Falk Lumo in seinem Artikel aufgrund von Messwerten auch, Burkhard kombiniert 2 linearisierte MTF-Kurven, linearisiert das Ergebnis nochmal, und kommt auf 1. Und die Realität liegt wohl irgendwo dazwischen, kann aber nicht mit "theoretischen" Argumenten für das eine oder gegen das andere belegt werden. Das ist alles rein empirisch, und die Modelle treffen wohl viel schlechter als in Nachrichtentechnik oder Elektronik, weil ein Foto fast grundsätzlich noch bearbeitet und geschärft wird. Und dafür gibt es vermutlich keine statistisch ermittelte typische MTF.



Gruß, Matthias

 

[Gast_194966]

Das macht z.B. die Color Foto so und beschreibt es zusätzlich als Kenngröße mit der Fläche unter der Kurve (als "Kontrastwert in %").

Nicht nur die! Das ist vermutlich/hoffentlich der "Subjective Quality Factor", den man natürlich auch als Maß heranziehen könnte.



Gruß, Matthias

 

[burkhard2]

Zu einer Addition von Radien oder Durchmessern, wie Burkhard sie als richtig darstellt, weil sie einem MTF-Modell entstammen, kommt man aber auch nur, wenn man gleich 3 Dinge linearisiert. Die MTF des Sensors mit AA-Filter und Bayer-Mosaik ist keineswegs linear, wird aber oft als linear angenommen, so auch in diesem MTF-Modell. Und die MTF aufgrund von Beugung an einer Kreisblende ist ebenfall nicht (gerade bei kleiner MTF), wird aber ebenfalls als linear angenommen.

Richtig. Bei Sensor + Blende unterschätzt mein Modell im Zweifel die Auflösung des Sensors etwas. Das müsste sich allerdings in etwa dadurch ausgelichen, dass der zum Vergleich herangezogene Sensor ja ebenfalls als linear angenommen wird. Die Beugungskurve ist nun wirklich praktisch linear. Für eine Daumenformel (und um die ging es ja mal ursprünglich) sollte das reichen.

..und dann nochmal linearisiert, nämlich den "quadratischen" Term f/fnyq*f/fco vernachlässigt, erst dann kommt man zu einer reiner Addition der Durchmesser.

Falsch, ich ignorieren den quadratischen Teil nicht, sondern nehme den entsprechenden MTF50- bzw. MTF10-Wert der resultierenden Kurve.

L.G.

Burkhard.

 

[Frank Klemm]

Betrachtete Fälle:

• rot: Kreis
• grün: viereckig (gepunkt: diagonal, solid: senkrecht zur Diagonale)
• blau: sechseckig (gepunkt: diagonal, solid: senkrecht zur Diagonale)

Die jeweiligen Flächen sind konstant.
Was zeigen die Diagramme?

• Diagramm 1: Aperturfunktionen
• Diagramm 2: Wurzel(PSF) durch Aperturfunktion bis ca. zum Vierfachen der ersten Nullstelle
• Diagramm 3: Wurzel(PSF) durch Aperturfunktion bis ca. zum 1,4fachen der ersten Nullstelle
• Diagramm 4: Wurzel(PSF) durch Aperturfunktion bis ca. zum 0,26fachen der ersten Nullstelle

Wurzel(PSF) entspricht der Feldstärke, wenn man die Leistungsdichte haben will, muß man noch das Quadrat draus berechnen. Rechnet man hieraus wieder die Fouriertransformierte, erhält man die MTF.

Was sieht man?

• Kreis und Sechseck verhalten sich schon sehr ähnlich.
• Viereck tanzt erheblich aus der Reihe
• Höhere Frequenzen verschwinden "über die Diagonale" wesentlich schneller.