Zerstreuungskreis bei anamorphotischem Objektiv

[Martin Messmer]

Liebe Alle

Ich möchte mich gerne ‹absichern›, ob meine Überlegungen korrekt sind oder gänzlich falsch:

Bei einem anamorphotischen Objektiv mit z.B. Verzerrfaktor F = 2 wird das Bild ja in beispielsweise der Breite um den Faktor 2 gestaucht.
In etwa wäre dies dann also für die Bildbreite die halbe Brennweite ( f ), die für den Bildwinkel wirkt und in den Sensor gequetscht, gestaucht wird.

Am besten grad mit konkretem Beispiel:
APS-C-Sensor, Gegenstandsweite g = 2000mm, zu untersuchende Unschärfe im Hintergrund bei D = 5000mm, Blende k = 2 und Brennweite f = 50mm.
So wird das anamorphotische Objektiv mit F = 2 in der Bildhöhe also ein f1 = 50mm und in der Breite ein f2 = 25mm aufweisen.
Die Bildbreite aber ganz auf dem Sensor, in die Breite hineingetaucht …

Meine Frage ist nun: Mit welcher Schärfentiefe kann ich rechnen mit diesem Objektiv im Vergleich zu einem ‹normalen› 50mm-Objektiv?
Oder vorab anders: Wie sieht der Zerstreuungskreis auf dem Sensor aus, und NACHDEM ich das Bild in der Bildbearbeitung wieder entstaucht habe?

Meine vage Vermutung:
Un-entstaucht, also noch gestaucht, bildet sich folgender Zerstreuungskreis:

ZD1 (bezügl. Bildhöhe) ≈ f1^2 / k * (1/g – 1/D) =>
ZD1 ≈ 50^2 / 2 * (1/2000 – 1/5000) ≈ 0.375mm

ZD2 (bezügl. Bildbreite) ≈ f2^2 / k * (1/g – 1/D) =>
ZD2 ≈ 25^2 / 2 * (1/2000 – 1/5000) ≈ 0.09375mm = ZD1 / F^2

Entstaucht (!) wird dieser anamorphotisierte Zerstreuungskreis dann wieder um den Zerrfaktor F (= 2), also in die Breite gezogen, nämlich:

ZD2´ = ZD2 * F = 0.09375 * 2 = 0.1875 = ZD1 / F

Könnte dies so sein, dass die Zerstreuungskreise (sagen wir tendenziell mittig im Bild) ein in die Höhe gezogenes Oval bilden mit den Diagonal-Maßen
ZD1 hoch ≈ ZD wie ohne anamorphotisches Objektiv
ZD2 quer ≈ ZD / F … ??

… und für die Schärfentiefe (mit dem max. zul. Zerstreuungskreisdurchmesser Zo ≈ Sensordiagonale / 1500) wäre dann doch wohl der maximal große Zerstreuungskreisdurchmesser Zo relevant – jedoch:
Wir würden das Bild ja infolge der Bildverbreiterung von etwas weiter weg anschauen, weil ja die Breite um den Verzerrfaktor vergrößert wird beim Entzerren.
Somit würde die Diagonale des Bildes etwas länger und damit die (identisch große) Bildbetrachtungsdistanz vergrößert:

Bildbetrachtungsabstand = Bilddiagonale neu ≈ Bilddiagonale alt / Sensordiagonale * √[(Sensorlänge * F)^2 + Sensorhöhe^2]
Und mit dem gleichen Betrag würde ergo auch Zo zu Zo´ verändert (vergrößert), hier konkret:

APS-C-Zo ≈ 0.02mm
Sensor-Seitenverhältnis 2:3 mit 16 x 24mm
Zo´ ≈ Zo / 28.84 * √[(240.0351 * 2)^2 + 16^2] ≈ 0.035mm

Somit liegt eine größere Unschärfe drin im Bild, weil wir das Bild ja von etwas weiter weg anschauen …
Und da der Zerstreuungskreis unterschiedliche Durchmesser hat (ein Oval), doch max. Zo misst, würde die Schärfentiefe etwas weiter, als wenn wir nicht-anamorphotisch fotografierten.

Liege ich da völlig falsch irgendwo? …

DANKE fürs Helfen und liebe Grüße an alle!

Herzlich — Martin

…

 

[Der Junge mit der Nikon]

Ich bin nun kein Experte für Anamorphie, hab sowas auch noch nie benutzt. Aber grundsätzlich erscheint mir die Darstellung plausibel: Für die nötige Auflösung von Sensor und Objektiv setzt man den gestauchten und somit verringerten kürzesten Durchmesser des Ovals ein, für Schärfentiefe und Bewegungsunschärfe tut es nix zur Sache, dass zwischendurch gestaucht wird. Für Verwacklungsunsicherheit müsste man wohl ebenfalls den kürzesten Durchmesser des Ovals ansetzen.

Die Vergrößerung des Zerstreuungskreisdurchmessers aufgrund vergrößerten Betrachtungsabstands sollte in der Theorie richtig sein, insbesondere wenn man von der Nutzung für Bewegtbilder ausgeht, wo man eben nicht näher rangeht.

 

[Martin Messmer]

Ich bin nun kein Experte für Anamorphie, hab sowas auch noch nie benutzt. Aber grundsätzlich erscheint mir die Darstellung plausibel: Für die nötige Auflösung von Sensor und Objektiv setzt man den gestauchten und somit verringerten kürzesten Durchmesser des Ovals ein, für Schärfentiefe und Bewegungsunschärfe tut es nix zur Sache, dass zwischendurch gestaucht wird. Für Verwacklungsunsicherheit müsste man wohl ebenfalls den kürzesten Durchmesser des Ovals ansetzen.

Die Vergrößerung des Zerstreuungskreisdurchmessers aufgrund vergrößerten Betrachtungsabstands sollte in der Theorie richtig sein, insbesondere wenn man von der Nutzung für Bewegtbilder ausgeht, wo man eben nicht näher rangeht.

Danke für die Antwort – mega nett!
Ja genau: Für die Berechnung der Auflösung muss der kürzeste Durchmesser des Ovals beigezogen werden (hinsichtlich der Pixelauflösung). Beim Wieder-Entzerren des Bildes werden die Pixel zwar quasi mit-dehnend in die Länge gezogen und die Bildstellen dadurch dann entsprechend ‹auflösungs-unheikler›, aber anfänglich wird der Zerstreuungskreis ja zum Oval auf den Sensor eng-gepresst …

Die Beugung allerdings ist vermutlich nicht gleichermaßen vom graduell verkürzten Brennweitenverlauf abhängig: Der Durchmesser eines Airy-Discs ist ≈ 2.44 * k * λ * (m + 1), wobei k ≈ f / Eintrittspupillen-Durchmesser ist – und somit ist die Beugung nur zu f (linear, nicht quadratisch) proportional (oder wird die Blende auch verändert rundum, quasi eine ovale Blendenöffnung?) – und es wird dann beim Entzerren der Beugungseinfluss ja wieder um den gleichen Faktor weitgedehnt, so dass die Beugung im Ergebnisbild vermutlich also ungefähr unverändert im Bild wirkt, wie wenn wir mit einem normalen Objektiv fotografiert hätten …

Ob dies so korrekt ist? —
Habe etwas den Überblick verloren … bei ZD ≈ f1^2 / k * (1/g – 1/D) ist k ja auch ≈ f / k und somit ist ZD ≈ f1 *P * (1/g – 1/D) …

Kenn jemand eine genauere Abhandlung zum Thema ‹anamorphotische Abbildung – Zerstreuung und Beugung – Berechnung› oder so ähnlich? …

Alles Gute – herzlich

Martin

…

 

[Martin Messmer]

Hmm … die Beugung scheint auch gestaucht zu sein … (s. Bild im Anhang) …

Ich fotografierte – fokussiert – auf einen Siemensstern – im Bild als kleiner Ausschnitt des gesamten Bildes davon.
Blende, bei APS-C-Sensor: k = 16 (!!) … also viel Beugung … das Bild im Anhang ist bereits wieder um den Faktor der Anamorphie auf-gedehnt … (F = 1.25), die Gegenstände sind also unverzerrt, der Siemensstern deshalb (einigermaßen ) rund …

Das Auflösungsmuster ist aber auch ein Oval im Durchmesser-Verhältnis 1.25, die Beugung also wohl doch nicht ‹rund›, sondern auch gestaucht … ist dies möglich so? …

DANKE und alles Gute – Martin

…

 

[Martin Messmer]

Eigenartig:

Für den Zerstreuungskreis ZD gilt ja:
ZD ≈ f^2 / k * (1/g – 1/D)
k = f / P … wobei P der Eingangspupillen-Durchmesser ist
Somit gilt also:
ZD ≈ f^2 / (f / P) * (1/g – 1/D) … ergo:
ZD ≈ f * P * (1/g – 1/D)

Somit ist klar, bleibt k denn konstant, dass sich sowohl f als auch P um den Verzerrfaktor F verkleinert (f / P = k = konstant).
Darum verzerrt sich der Zerstreuungskreis beim anamorphotischen Fotografieren mit F zum Quadrat.
Bei der Bildbearbeitung wird das Bild aber wieder um diesen Faktor F entzerrt.
Demzufolge bleibt eine letztendliche Verzerrung des Zerstreuungskreises um den Faktor F:
Ein Zerstreuungskreis ist also im entstauchten Bild so hoch, wie wenn wir mit einem ‹normalen› Objektiv fotografierten – und aber weniger breit, nämlich um den Faktor F schlanker, als wenn wir mit ‹normalem› Objektiv fotografiert hätten.
Dies erklärt die ovale Form der Zerstreuungskreise (s. Anhangsbild rechts) …

Bei der Beugung aber gilt doch:
d ≈ 2.44 * k * λ
… und somit, wieder mit k = f / P:
d ≈ 2.44 * f / P * λ
Da k wiederum als konstant angenommen wird und sich somit f und P gleichsam um den Faktor F verkleinern, bleibt die Beugung doch allseits gleich, wie wenn wir mit ‹normalem› Objektiv fotografierten … nicht?
Weil wir das Bild dann in der Bearbeitung aber wieder entzerren, erweitern wir den Beugungseinfluss um den Faktor F in die Breite.
So sollte die Beugungserscheinung doch eigentlich in die Breite gezogen sein, grad umgekehrt wie beim Zerstreuungskreis? …

In meinem ‹Versuch› (Anhangsbild links) zeigt sich tatsächlich, auch beim Beugungseffekt: das Beugungsscheibchen wird in die Breite um den Faktor F gedehnt, daher ist der Unschärfebereich ein stehendes Oval mit dem Achsenlängen-Verhältnis 1÷ F … die senkrechten Linien werden weniger gut aufgelöst – die horizontalen Linien aber erfahren keine Veränderung der Auflösung: sie zeigen sich aufgelöst, wie wenn wir mit ‹normalem› Objektiv fotografierten …

Mal sehen, wohin es führt …

DANKE — und alles Gute!

Herzlich — Martin

…

 

[Martin Messmer]

Liebe Alle

Ich habe eine ‹These›

Zerstreuung:
ZD ≈ f^2 / k * (1/g – 1/D) ≈ f * P * (1/g – 1/D)

Beugung:
d ≈ 2.44 * k * λ ≈ 2.44 * f / P * λ

Wenn k konstant bleibt, ist ergo f / P konstant.
Somit wird bei f' = f / F (Stauchung um Faktor F beim anamorphotischen Obejektiv) P' = P / F (deshalb auch die ovale Blendenöffnung), damit f' / P' = ( f / F ) / ( P / F ) = f / P = k (konstant) gilt.

So wird auf dem Sensor Folgendes passieren:
Der Zerstreuungskreis wird mit Faktor F^2 breitachsig gestaucht (erscheint also als senkrechtes Oval auf dem Sensor, bei z.B. F = 2: 1/4-Stauchung) – und ein Beugungsscheibchen wird unverändert abgebildet (weil k konstant bleibt --> Formel … ).
Beim Entzerren (Wieder-Aufdehnen um den Faktor F) des ‹anamorphotischen Bildes› wird der Zerstreuungskreis wieder ‹zur Hälfte› zurückgedehnt und zeigt ein Oval, das nun nur noch mit Faktor F in der Breite gestaucht wird (insgesamt verkleinert), während das Beugungsscheibchen bei diesem Vorgang um den Faktor F in die Breite gezogen wird (insgesamt vergrößert).
Mit anderen Worten:

• Auf dem Sensor: ZD wird um den Faktor F^2 gestaucht in der Breite, während d keine Verzerrung erfährt.
• Im entstauchten Bild: ZD bleibt noch um den Faktor F gestaucht in der Breite, während d um den Faktor F in die Breite gezogen wird.

In den obigen beiden Bildern erkennt man dies:
• rechts der Zerstreuungskreis: um Faktor F (hier 1.25) gestaucht – und in der Höhe unverändert, wie mit einem normalen Objektiv aufgenommen. Hier sehen wir die Form des Zerstreuungskreises.
• links sehen wir den durch das in die Breite gezogene Beugungsscheibchen um den Faktor F senkrecht-gedehnten Unschärfebereich beim Siemensstern: wenn das Beugungsscheibchen breiter wird, so ist die Auflösung für senkrechte Linien geringer als für horizontale; darum wird das Unschärfemuster in die Senkrechte gedehnt: Hier sehen wir die Form des Unschärfebereiches (und nicht des Beugungsscheibchens!).

Für das anamorphotische und wieder entzerrte Bild würde ergo gelten:
• Durch die um den Faktor F in der Breite gestauchte Zerstreuung sehen wir das ‹Bokeh› als stehendes Oval; und das Bild erfährt dadurch für senkrechte Linien eine bessere Auflösung – während die Auflösung horizontaler Linien keine Veränderung zeigt (und somit bleibt die Schärfentiefe D∆ in etwa unverändert, obschon senkrechte Linien besser aufgelöst werden) …
• Durch die um den Faktor F in die Breite gedehnten Beugungsscheibchen wird die Auflösung um die Schärfeebene herum für senkrechte Linien gemindert – und bleibt aber für horizontale Linien ebenfalls unverändert … ‹Nach Linien geordnet› also:

• senkrechte Linien: sind einerseits besser aufgelöst (Zerstreuung) bzw. andererseits gemindert aufgelöst (Beugung)
• horizontale Linien: erfahren keine Veränderungen in der Auflösung … (weder durch ZD noch infolge d)

Hierin zeigt sich auch, dass die Zerstreuung und die Beugung ‹gegenspielend› sind zueinander: Schließen wir die Blende, so verkleinert sich die Zerstreuung, die Beugung aber wird heftiger … ! – oder umgekehrt …

Ergo: Durch das anamorphotische Fotografieren werden wir horizontale Linien in etwa gleichermaßen auflösen, wie wenn wir mit einem ‹normalen› Objektiv fotografierten, während die senkrechten Linien durch die quer-gedehnte Beugung schlechter, jedoch durch die quer-gestauchte Zerstreuung besser aufgelöst werden. Da die Zerstreuung bei defokussierten Bildstellen im Normalfall eher stärker ins Gewicht fällt, was die Unschärfe und Auflösung anbelangt, als die Beugung, werden wir senkrechte Linien tendenziell besser aufgelöst vorfinden (z.B. Bäume im Hintergrund) – in g hingegen (nahe der Schärfeebene) wird sich (ohne – bzw. mit nur wenig – Einfluss der Zerstreuung) für senkrechte Linien etwas weniger Auflösung zeigen. Dies alles erklärt nun einiges für die anamorphotischen Bilder:

• die quer-gestauchten Unschärfekreise (ovales Bokeh, ZD quer-gestaucht)
• den dadurch schärferen Hintergrund, die senkrechten Linien betreffend
• die ungefähr konstante Schärfentiefe (sofern das Objektiv gut ist)
• und das in die Höhe gedehnte Beugungsmuster beim Siemensstern (d quer-gedehnt)…

So sind beim anamorphotischen Fotografieren für horizontale Linien keine großen Veränderungen bezüglich Schärfe und Auflösung zu erwarten (oder wenn, dann der ‹Breiten-Unschärfeverlauf› infolge der Zurückdehnung des Bildes in der Bildbearbeitung), während senkrechte Linien um die Schärfeebene herum beugungsbedingt weniger gut aufgelöst werden, jedoch – sobald bei defokussierten Bildstellen der Einfluss der Zerstreuung größer wird als jener der Beugung (ZD > d) – die senkrechten Linien besser aufgelöst sind …

Zusammenfassend:
• Die horizontalen Linien bleiben ungefähr unverändert aufgelöst (ZD und d bleiben beide gleich hoch) …
• Dadurch bleibt die Schärfentiefe in etwa konstant …
• Um g (Schärfeebene) herum ist die Auflösung für senkrechte Linien etwas gemindert …
• In deutlich defokussierten Bildstellen (ZD > d) ist die Schärfe und Auflösung für senkrechte Linien besser …
• Schärfe und Auflösung werden maximal mit dem Faktor F verändert (Verzerrfaktor des anamorphotischen Objektives) …

Nicht eingerechnet allerdings sind hier die wohl heftigeren Fehler durch die komplexe Optik eines solchen Objektives (Aberrationen etc.) und das Aufdehnen des Bildes (der Pixel quasi) um den Faktor F in die Breite.
Allerdings wird das ausgedruckte Bild ja durch diese Zurückdehnung bei der Bildbearbeitung etwas breiter – und somit von etwas weiter weg angeschaut – was Unschärfen etwas weniger erkennen lässt.
Summasummarum ist also vermutlich nicht so sehr die Schärfe und Auflösung das, was sich groß ändert (außer im Hintergrund: bessere Auflösung der senkrechten Linien), sondern eher das Aussehen per se, die grundsätzlich spezielle Wirkung der anamorphotisch aufgenommenen Bilder …

Vielleicht liege ich falsch – aber alle Phänomene meiner Testbilder lassen sich so wenigstens vorerst ganz gut erklären und verstehen …

Liebe Grüße – gespannt auf allfällige Antworten, Einwände und Ergänzungen von Euch lieben Fachleuten …

Ganz herzlich — Martin

…

 

[burkhard2]

Mit anamorphotischen Objektiven habe ich leider keine praktische Erfahrung.

Die entscheidende Frage ist aus meiner Sicht, wie die Eintrittspupille aussieht (das hängt davon ab, wo die Blende im Strahlengang liegt). Wenn sie rund ist (und somit auch die Blendenzahl richtungsabhängig ist), sollte das Stauchen und Entstauchen des Bildes keine Auswirkung auf die Schärfentiefe haben (und die Zerstreuungskreise müssten rund bzw. blendenförmig sein).

Im Prinzip sind das ähnliche Überlegungen wie beim Cropfaktor, nur dass du unterschiedliche Cropfaktoren in waagrechter und senkrechter Richtung hast.

Für die Beugung gilt im Prinzip das Gleiche.

L.G.

Burkhard

 

[Martin Messmer]

DANKE, lieber Burkhard!
Die Zerstreuungskreise sind eben bei mit anamorphotischen Objektiven gemachten (entzerrten) Bildern oval … und zwar durch die seitliche Stauchung um den Faktor gestaucht, welcher das anam. Objektiv innehat (sog. Squeeze-Faktor).
Die Brennweiten sind richtungsabhängig-unterschiedlich, die Blendenform meist nicht rund (es gibt glaub verschiedene Optik-Modelle) und dadurch f/P, also k konstant … und somit die Beugung auf dem Sensor unverändert – doch schließlich in die Breite gezogen durch das Entstauchen …

Herr Dr. Schuhmacher sandte mir noch einen Link zu:
Link von Herrn Dr. Schuhmacher …

Alles Gute und liebe Grüsse — Martin

…

 

[Martin Messmer]

Anbei noch ein weiterer Test meinerseits:
Horizontale Linien werden besser aufgelöst auf der Schärfeebene als senkrechte Linien … Hier mit einem anamorphotischen Objektiv mit FA = 1.25 …

 

[Martin Messmer]

… und schließlich, nicht in der Schärfeebene liegend, sondern defokussiert (ZD wirkt, k = 1.2, D = 5000mm; g = 3000mm), da sind die senkrechten Linien besser aufgelöst (mehr Kontrast ist auch ersichtlich) als die horizontalen Linien.

Dies zeigt zumindest, dass die Beugungsscheibchen im fertigen, entzerrten Bild um den Faktor FA in die Breite und die Zerstreuungskreise um den Faktor FA in die Höhe gezogen liegen …

Kritische Meinungen dazu sind sehr erwünscht …

Liebe Grüße – Martin

…

 

[Martin Messmer]

Nochmals in g (Schärfeebene): die Beugungsscheibchen sind rund auf dem Sensor – aber die Breite ja um FA gestaucht … was zur Folge hat, dass senkrechte Linien weniger gut aufgelöst sind als horizontale (s. Anhang) …
Genau anders verhält es sich in defokussierten Bildstellen (fernab g): Die Zerstreuungskreise sind um FA in der Breite gestaucht – was zur Folge hat, dass die senkrechten Linien besser aufgelöst werden als die horizontalen (nicht wie im Anhang bei g) – also etwa hintergründige Bäume schärfere Stämme zeigen als bei ‹normaler› Fotografie …

Warum beim Siemensstern beim entzerrten Bild das Unschärfe-Feld rund ist, werde ich noch in Formeln packen …

 

[Martin Messmer]

Beim Siemensstern (in g positioniert) sehen wir im wieder entstauchten Bild – anders als von mir vermutet – einen runden Unschärfebereich in der Mitte … Warum?

Ich ging von einem Siemensstern mit extrem wenigen Strahlen aus, nämlich nur 8 (blaue und rote). Das Bild links (im Anhang) zeigt den unverzerrten Siemensstern; die Kreise sind Beugungsscheibchen. Beim Stauchen durch das anamorphotische Fotografieren (Bild rechts im Anhang) wird die Breite um den Faktor FA (im Bild FA = 2) verdichtet – somit ändern sich die Richtungen aller (außer der horizontalen und ganz senkrechten) Siemenssternstrahlen – die Beugungsscheibchen aber behalten ja ihre Größe (s. Formel oben). Die Strahlen werden – so angenommen – aufgelöst, wenn das Beugungsscheibchenzentrum der einen Linie auf den Kreis des Nachbarbeugungsscheibchens zu liegen kommt (Rayleigh-Kriterium).

Die Strahlen werden somit mitgestaucht … und die neuen Winkel zwischen zwei übernächst-benachbarten Siemensstern-Strahlen lassen sich mit a = arctan(1/F) berechnen.
Nun ergibt dies daraus also in der Breite eine Stauchung des Unschärfebereiches um den Faktor 1/(√2 * cos a)) sowie in die Höhe eine Dehnung um den Faktor 1/(√2 * sin a).
Das Verhältnis ‹neue Höhe› ÷ ‹neue Breite› des Unschärfebereiches um die Mitte des Siemenssterns beträgt somit nicht mehr 1 ÷ 1, sondern cos a / sin a = 1 / tan a = F.

Somit wird auf dem Sensor der Unschärfebereich in der Breite gestaucht und in die Höhe gedehnt - derart, dass die Höhe = Breite * F misst.
Nun wird beim Entzerren des Bildes die Breite ja um den Faktor F wieder zurückgedehnt, womit der Unschärfebereich wieder zum Kreis wird, weil die Höhe dann so viel wie die neue Breite misst.

Was ‹normal-fotografiert› der Siemensstern im Anhang-Beispiel einen Unschärfebereich mit Radius s/2 zeigt, misst dieser Bereich durchs anamorphotische Fotografieren neu s/(2*√2*sin a).
Der Unschärfebereich wird hier also um den Faktor 1/(√2 * sin a) vergrößert, wobei a = arctan(1/F) misst.
Bei meinem Objektiv mit FA = 1.25 wird dieser Unschärfekreis im Siemensstern also ca. 13.2% größer (Faktor 1.1319).

Bei senkrechten und horizontalen Linien ist's etwas anders:
Die horizontalen Linien erfahren keine Auflösungsverringerung, während senkrechte Linien durchs Gestauchtwerden um den Faktor FA weniger gut aufgelöst werden (s. Bild oben).
Linien, die weder horizontal noch vertikal sind, erfahren eine Verringerung der Schärfe und Auflösung mit einem Faktor < FA …

Bei defokussierten Bildstellen wirkt die Zerstreuung stärker als die Beugung … dort ist's wiederum anders:
Da wird der Zerstreuungskreis komprimiert (um FA^2) und wieder um FA entstaucht … womit eine Breitenstauchung um den Faktor FA verbleibt.
So werden senkrechte Linien um FA besser aufgelöst, während horizontale Linien in Auflösung und Schärfe in etwa unverändert bleiben (und somit auch die Schärfentiefe).

Ob dies so stimmt? … Bei meinen Testbildern jedenfalls ist's so ersichtlich …

Herzlich — Martin

PS: Die rechtwinkligen Dreiecke sind zwar nicht ganz realitäts-korrekt … aber wenn die Siemensstrahlen viele sind und eng beieinander liegen, so stimmt's annähernd …

…

 

[Martin Messmer]

Mal ein Versuch:

Eine gute Zeit - herzlich

Martin

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