Schärfentiefe (Formeln und Anleitung)

[Stempel]

Da hast Du Dich bei der Differenzbildung zu \Delta g wahrscheinlich vertipt?:

Der Nahpunkt der Schärfentiefe:
gn = g0/(1+cM/KF) = g0/(1+1/zrel∞)

Der Fernpunkt der Schärfentiefe:
gf = g0/(1-cM/KF) = g0/(1-1/zrel∞)
(Achtung: Wenn hier negative Zahlen rauskommen, ist der Fernpunkt und die Schärfentiefe =∞)

Die Schärfentiefe selber ist die Differenz der beiden (oder eben =∞):
∆g = gf - gn
∆g = 2*g0/(KF/cM-cM/KF) = 2*g0/(zrel∞-1/zrel∞)

Zu den linken Seiten. Rechne ich korrekt via Hauptnenner, kommt was viel kompliziertres 'raus. Nehme ich an, cM/KF = æ << 1 (was im Regelfall zutrifft), so ist die Näherung:

1/(1+æ) =ca 1-æ und wir erhalten:

gf - gn = g0 ( 1-æ ) - g0 ( 1+æ ) = -2 g0 æ

Analoges gilt für die jeweils rechten Seiten der Gln.

Gruß, Wolfgang

 

[Gast_194966]

Rechne ich korrekt via Hauptnenner, kommt was viel kompliziertres 'raus.

Eigentlich nicht.

1/(1-a) - 1/(1+a) = (1+a)/(1-a²) - (1-a)/(1-a²) = 2*a/(1-a²) = 2/(1/a-a)

Stimmt doch, auch ohne Newtonreihe, die kommt ja erst mit der "mathematischen Vereinfachung" etwas weiter unter.


Gruß, Matthias

 

[Stempel]

1/(1-a) - 1/(1+a) = (1+a)(1-a^2) - (1-a)(1-a^2) = 2*a/(1-a^2) = 2/(1/a-a)

Jau, du hast Recht und ich Tomaten auf den Augen.
Wolfgang

 

[Gast_194966]

Jau, du hast Recht und ich Tomaten auf den Augen.

Und ich hatte am Handy tippselnd zwei Bruchstriche vergessen, die habe ich nachgereicht und auch gleich die Quadrate angehübscht.


Gruß, Matthias

 

[Gast_194966]

Moin!


Damit das hier nicht völlig erstirbt, und damit meine zahlreichen Erweiterungen und Verbesserungen am Eingangsbeitrag endlich mal gebührend gewürdigt werden (leider kann ich nicht mehr editieren, deshalb gibt's die neueste Version nur hier), hab ich mal wieder was:

Es gibt ja den beliebten Merksatz...

[...] "Schärfentiefe hängt nur von Abbildungsmaßstab und Blende ab".

Oben hatte ich ja schon dargelegt, dass das so nicht stimmt:

Außerhalb des Nahbereichs und bei guter Freistellung ist die Schärfentiefe also proportional zur Blendenzahl, umgekehrt proportional zum Quadrat des Abbildungsmaßstabs und, und das wird fast immer vergessen, proportional zum zulässigen Zerstreuungskreis, also zur Sensorgröße.

In der Literatur wird der Zusammenhang in diesem Merksatz als "Makronäherung" bezeichnet, aber das stimmt gar nicht. Es kommt nicht auf "Makro" an, sondern auf gute Freistellung/geringe Schärfentiefe.

Die Schärfentiefe bei guter Freistellung (zrel∞>>1) kann man auch mit dem Abbildungsmaßstab β0 ausdrücken:
∆g(@zrel∞>>1) = 2*B*zzul*(1+β0)/β0²
...was sich bei kleinen Abbildungsmaßstäben und guter Freistellung weiter vereinfacht zu
∆g(@zrel∞>>1; β0<<1) = 2*B*zzul/β0²

Und da ich gerade damit rumgespielt habe, zeige ich mal 2 Beispiele, die zeigen, dass die gleiche Schärfentiefe (bei gleicher Sensorgröße!) keineswegs merksatzgemäß "Makro" erfordert, wohl aber gute Freistellung.

1. Beispiel: 50mm, 100mm und 200mm Brennweite an FX auf 5m, 10m und 20m fokussiert, Abbildungsmaßstab jeweils 1:99, also keineswegs "Makro", Blende f/4 und deshalb geringe Schärfentiefe, nämlich in allen 3 Fällen etwa 2,3-2,4m:

2. Beispiel, gleiche Parameter, aber Blende f/22 und damit große Schärfentiefe. Beim 50er ist die Schärfentiefe unendlich, beim 100er 21m, beim 200er 14m.

Es ist also im Widerspruch zur Literatur keine "Makronäherung", sondern eine Näherung für kleine Schärfentiefe/gute Freistellung. Ist aber auch nicht so wichtig.

So, ich hoffe Ihr schlaft gut.



Gruß, Matthias

 

[Manni1]

Matthias - Deine Berechnungsmethode und deren Ableitung in Ehren, aber diese Grafik jetzt ist bedeutend hilfreicher zum Verständnis der Zusammenhänge. Und wenn Du nun noch die Beschriftung der Y-Achse "relativer Zerstreuungskreis" ergänzt um sowas wie "Schärfeeindruck", damit die eher an der Fotopraxis Orientierten es leichter haben, dann wird das perfekt.

Insbesondere die Auswirkung bzw. Nichtauswirkung unterschiedlicher Brennweiiten bei versch. Blenden dürfte manchem schon helfen ohne daß er die Berechnungen nachvollziehen muß.



Manfred



P.S. - Du schreibst oben "(leider kann ich nicht mehr editieren, deshalb gibt's die neueste Version nur hier)" - ist doch kein Problem. Gib Deine Korrekturen an einen zuständigen Moderator, der sie dann einarbeitet.

 

[Gast_194966]

Matthias - Deine Berechnungsmethode und deren Ableitung in Ehren, aber diese Grafik jetzt ist bedeutend hilfreicher zum Verständnis der Zusammenhänge. Und wenn Du nun noch die Beschriftung der Y-Achse "relativer Zerstreuungskreis" ergänzt um sowas wie "Schärfeeindruck", damit die eher an der Fotopraxis Orientierten es leichter haben, dann wird das perfekt.

Insbesondere die Auswirkung bzw. Nichtauswirkung unterschiedlicher Brennweiiten bei versch. Blenden dürfte manchem schon helfen ohne daß er die Berechnungen nachvollziehen muß.

Nun ja, diese Grafiken sollen ja nur einen einzigen Zusammenhang darstellen. Für andere, und da gibt es viele, benötigen wieder andere Grafiken, und davon habe ich ja auch schon viele gezeigt. Mein xls-Blatt ist für fremde nicht wirklich nutzbar, aber es gibt ja auch cBlur (google hilft). Nein, ich wollte ja mit Absicht etwas anderes machen als die üblichen Doofrechner. Ich habe die Formeln mit Absicht so aufbereitet, dass man sich notfalls im Kopf oder per Taschenrechner ein paar Vergleiche machen und Zusammenhänge erarbeiten kann. Mit dem "anstarren" fertiger Grafiken oder dem bloßen eintippen in fertige Rechenprogramme lernt man weniger, finde ich. Wer es anders braucht, für den gibt es ja Alternativen.

P.S. - Du schreibst oben "(leider kann ich nicht mehr editieren, deshalb gibt's die neueste Version nur hier)" - ist doch kein Problem. Gib Deine Korrekturen an einen zuständigen Moderator, der sie dann einarbeitet.

Das habe ich ja auch schon getan, die letzte Änderung war ja von Nightshot. Aber ein bisschen lästig ist es schon.


Gruß aus Neuseeland, Matthias

 

[Gast_194966]

Moin, jetzt wieder aus Hamburg!


Burkhard2 hat mich mit dem harmonischen Mittelwert darauf gebracht, in die Richtung etwas weiter zu grübeln. Und dabei sind mir 2 wunderhübsche Merksätze "in den Schoß gefallen", die ich so auch noch nirgendwo gesehen habe:

1. Es gibt da den gern zitierten, aber meistens falschen Merksatz, dass 1/3 der Schärfentiefe vor und 2/3 hinter der Fokusebene liegen, sie also im Verhältnis 1:2 stehen. Stimmt das? Und wenn ja, wann?

Auflösung: Es stimmt nur dann exakt, wenn der Fernpunkt der Schärfentiefe gerade doppelt so groß ist wie der Nahpunkt. Bei einer Schärfentiefe von 1m bis 2m, oder von 0,2m bis 0,4m oder von 50m bis 100m stimmt es. Aber die Regel dahinter ist viel einfacher:

Die Anteile der Schärfentiefe vor und hinter der Fokusebene stehen immer im selben Verhältnis zueinander wie die Grenzen der Schärfentiefe, also wie Nah- zu Fernpunkt.

Wenn die Schärfentiefe von 2m bis 8m reicht, also im Verhältnis 1:4, dann stehen auch die Schärfentiefeanteile vor und hinter der Fokusebene im Verhältnis 1:4. Von den 6m Schärfentiefe liegt also 1/5 vor und 4/5 hinter der Fokusebene. Und das bedeutet dann auch, dass auf 3,2m fokussiert worden sein muss. Und noch erstaunlicher: Das gilt völlig unabhängig von Brennweite, Blende, Sensorformat usw., es gilt immer (solange die Fokusdistanz nicht größer als die hyperfokale Distanz ist)!

2. Wenn der Nahpunkt der Schärfentiefe halb so groß ist wie die Fokusdistanz, wo liegt dann der Fernpunkt?

Auflösung: Im unendlichen! Man hat dann nämlich gerade auf die hyperfokale Distanz fokussiert. Und auch das gilt wieder völlig unabhängig von Brennweite, Blende usw. und überhaupt immer, wenn man nicht gerade auch auf unendlich fokussiert hat.



Und jetzt gute Nacht!
Matthias

 

[Gast_194966]

Moin!


Also gut, wenn keine Fragen kommen, traktiere ich Euch eben alleine weiter. Und zwar mit folgendem:

Jeder ordentliche Schärfentieferechner rechnet neben der eigentlichen Schärfentiefe (auf die dann alle ausschließlich gucken) auch die hyperfokale Distanz aus. Auch wenn ich, wie oben gesagt, die Fokussierung auf die HFD eher kritisch sehe, ist sie doch ein schöner Anfangswert zum weiterrechnen.

Die Hyperfokale Distanz:
gh = f²/B/zzul+f

Da die HFD i.a. viel größer als die Brennweite ist, kann man die Brennweite f hier auch weglassen und bekommt:

gh ≈ f²/B/zzul

Ich würde mir das im Kopf ausrechnen, aber wer das nicht will, benutzt einen Doofrechner und rechnet einmal für eine Brennweite f und Blendenzahl B die HFD aus. Den so berechneten Wert kann man jetzt "weiterspinnen": Wenn man die Blende um 1 Stufe schließt (Faktor √2=1,4), verringert sich die HFD auf 1/√2=0,7 mal den berechneten Wert. Wenn man sie 1 Stufe öffnet, steigt die HFD auf das 1,4-fache. Wenn man die Brennweite verdoppelt, steigt die HFD auf das 2²=4-fache, halbiert man die Brennweite, sinkt sie auf 1/4 des berechneten Werts.

So weit, so gut, aber was soll man mit der HFD, wenn man sie gar nicht benutzen will? Trara! Ich kann sie benutzen, um die "Freistellungskennzahl" auszurechnen, und das ist ja die Unschärfe des weit entfernten Horizonts, solange man nicht im Nahbereich fokussiert:

Die Freistellungs-Kennzahl ist die wichtigere, sie wird für alles andere gebraucht:
KF = f²/B/g0/zzul

Und das ist nichts anderes als die oben berechnete HFD, geteilt durch die Fokusdistanz.

KF(@g0>>f) ≈ gh/g0

Wenn ich also oben eine HFD von 20m ausgerechnet habe und auf 5m fokussiere, wird der Hintergrund 20/5=4 mal unschärfer als das Schärfekriterium, also 4x unschärfer als an der Grenze der noch als scharf akzeptablen Schärfentiefe. Wenn ich auf 1m fokussiere, wird es 20x so unscharf. Und wenn ich auf 20m fokussiere, wird es 1x so unscharf? Klar, dann habe ich ja auf die HFD fokussiert und definitionsgemäß ist es dann in unendlich gerade noch akzeptabel scharf. Und was passiert beim öffnen oder schließen der Blende? Nun, es wird 0,7x oder 1,4x so unscharf.

Und von wo bis wo reicht nun die Schärfentiefe? Das ist etwas kniffliger. Wenn der Hintergrund sehr unscharf ist (KF>>1), dann kann man einfach

Und noch einfacher die Schärfentiefe:
∆g(@zrel∞>>1) = 2*g0*cM/KF = 2*g0/zrel∞

nutzen. Wir wollten außerhalb des Nahbereichs fokussieren, also ist cM≈1 und es vereinfacht sich zu:

∆g(@KF>>1; g0>>f) ≈ 2*g0/KF

Man multipliziert die Fokusentfernung mit 2 und teilt durch die Unschärfe im entfernten Hintergrund. Im zweiten Beispiel oben (HFD 20m, Fokus 1m, deshalb Unschärfe 20x) kommt man so auf 2x1m/20=0,1m. Man hat dann also 10cm Schärfentiefe, und die verteilen sich etwa 50:50 vor und hinter der Fokusdistanz. Wenn ich die Blende öffne oder schließe, werden es 0,7x oder 1,4x so viel. Aber Vorsicht, das gilt nur, wenn die HFD viel größer ist als die Fokusdistanz.

Hier ist also am Ende die Kenntnis der HFD hilfreich, obwohl man nun gerade eben nicht eine möglichst große Schärfentiefe erreichen will. Wenn man das doch will, wenn also der Hintergrund nicht mehr "sehr unscharf" ist und die HFD nicht mehr viel größer als die Fokusdistanz, wird die Rechnerei etwa komplizierter. Die Formeln stehen oben, sind aber nicht mehr so einfach im Kopf zu rechnen.



Gruß, Matthias

 

[Gast_194966]

Moin!


Und weiter geht's mit dem Thema "Was 'lernt uns' der Schärfentieferechner?".

Auf den ersten Blick sagt er nur folgendes: In der Fokusdistanz ist es optimal scharf, innerhalb des einfachen optischen Modells sogar "perfekt scharf", die Unschärfe ist da also 0. An den Grenzen der Schärfentiefe, also an deren Nahpunkt und Fernpunkt ist es gerade noch akzeptabel scharf. In der hier benutzten "relativen Unschärfe" ausgedrückt ist das also jeweils 1. Zwischen diesen beiden Punkten ist es akzeptabel scharf, die Werte sind kleiner als 1, davor und dahinter ist es unscharf, also größer als 1. Mehr Informationen über den Schärfeverlauf gibt er nicht!

Aber fast alle ST-Rechner geben auch die hyperfokale Distanz an. Und auch, wenn man gar nicht vorhat, besonders große Schärfentiefe zu erreichen, kann man diese Information nutzen, um den Schärfeverlauf abzuschätzen. Wie ich oben schon gesagt habe, ist die relative Unschärfe "in unendlich" einfach das Verhältnis aus HFD und der Fokusentfernung.

Aber es geht noch weiter: Genauso unscharf wie in unendlich ist es auch bei der halben Fokusdistanz. Immer! Wenn mir der ST-Rechner eine HFD von 2m ausrechnet und ich fokussiere auch auf 2m, dann ist die relative Unschärfe im Hintergrund 2/2=1, also gerade noch scharf. Und bei der Hälfte der Fokusdistanz, also 1m, ist es auch gerade noch scharf. So weit ist das "Allgemeingut" (Schärfentiefe bei Fokus auf die HFD ergibt Schärfentiefe von HFD/2 bis unendlich). Aber dieser Zusammenhang gilt immer! Wenn ich auf 1m fokussiere, wird die Unschärfe im Hintergrund 2, und in 0,5m ist sie auch 2. Wenn ich auf 10m fokussiere, wird es im Hintergrund 0,2 (also schön scharf), und im 5m Entfernung wird es auch 0,2. Und so weiter. Und auch noch ähnlich einfach ist es bei 2/3 und 2x der Fokusdistanz. Da ist es immer halb so unscharf wie bei unendlich. Und zu größeren Entfernungen bleibt es so einfach: in der 3-fachen Fokusdistanz ist es 2/3 (67%) so unscharf, in der 4-fachen 3/4 (75%), in der 10-fachen 9/10 (90%) usw.

So, und damit haben wir genug Informationen zusammen, um den Unschärfeverlauf halbwegs abzuschätzen. Und das geht so. Ich habe gleich mal ein Beispiel unten angehängt, wie das dann aussehen könnte.

1. Achsenkreuz zeichnen, Entfernung auf der x-Achse, rel. Unschärfe auf der y-Achse, eine Linie bei y=1 ziehen (Diagramm 1)
2. Schärfentieferechner anwerfen, Brennweite, Blende, zulässigen Zerstreuungskreis eingeben
3. Der ST-Rechner antwortet mit der HFD, im Beispiel unten 5m
4. Fokusdistanz eingeben (Beispiel: 1m), der ST-Rechner antwortet mit Nahpunkt 0,83m und Fernpunkt 1,25m
5. Diese 3 Punkte in's Diagramm eintragen (Diagramm 2)
6. HFD durch die Fokusdistanz teilen (Beispiel 5m/1m=5), Linie bei y=5 in's Diagramm zeichnen (Diagramm 3)
7. Punkte eintragen bei der halben Fokusdistanz (Beispiel 0,5m) und der Unschärfe wie in unendlich (Beispiel: 5) und bei 2/3 und 2x der Fokusdistanz (Beispiel 0,67m und 2m) und der Hälfte der Unschärfe wie in unendlich (Beispiel: 2,5) (auch Diagramm 3). Wer möchte, zeichnet weitere Punkte bei der 3-fachen Fokusdistanz (67%), der 4-fachen (75%) usw. ein, das habe ich mir hier gespart.
8. Durch die mittlerweile 6 oder mehr Punkte eine elegante Linie zeichnen, die sich rechts (in "unendlich") langsam der Unschärfe in unendlich (Beispiel: die obere Linie bei 5) annähert (Diagramm 4)
9. Fertig! Kommt Euch das bekannt vor?

Gruß, Matthias

 

[Gast_300575]

Schöner Beitrag, da kann man sich ja ganz einfach seine wichtigsten Werte vor Augen führen. Danke .

 

[Gast_194966]

Moin!


Und weiter geht's.

Angeregt durch diesen Beitrag habe ich ein bisschen überlegt, wie ich diese Sache...

[...] Genauso unscharf wie in unendlich ist es auch bei der halben Fokusdistanz. Immer! [...] Und auch noch ähnlich einfach ist es bei 2/3 und 2x der Fokusdistanz. Da ist es immer halb so unscharf wie bei unendlich. Und zu größeren Entfernungen bleibt es so einfach: in der 3-fachen Fokusdistanz ist es 2/3 (67%) so unscharf, in der 4-fachen 3/4 (75%), in der 10-fachen 9/10 (90%) usw.

....noch etwas ergänzen kann. Es ist ein bisschen fummelig, aber vielleicht geht es so:

Ich möchte wissen, wo es z.B. 1/7 so unscharf wie in unendlich ist. Dafür stelle ich die Fokusdistanz als 7/7 (=1) dar, und dann erhöhe und erniedrige ich die Zahl unter dem Bruchstrich um 1. Ich komme also auf 7/6 (=1,167) und 7/8 (=0,875). Bei 1,167x und bei 0,875x der Fokusdistanz ist es also gleich unscharf, und zwar 1/7 so unscharf wie bei unendlich (und wie man das aus Hyperfokaldistanz und Fokusdistanz ausrechnet, steht oben). Und so kann man das weiterspinnen: Bei 3/2 und 3/4 der Fokusdistanz ist es 1/3 so unscharf wie in unendlich, bei 42/43 und 42/41 ist es 1/42, bei 7,35/8,35 und 7,35/6,35 ist es 1/7,35 usw. usf. Und bei 1/2 und 1/0 (das ist unendlich!) ist es natürlich 1x so (also genauso) unscharf wie in unendlich. geht das so?

Und bevor der Einwand wieder kommt: Das gilt für ein idealisiertes Objektiv ohne sphärische Aberration, ohne Beugung und nur in Bildmitte (und noch jede Menge weitere Einschränkungen), aber das sind genau die gleichen Einschränkungen, wie sie für jeden Doofrechner auch gelten.



Gruß, Matthias

 

[ronmann]

Die Anteile der Schärfentiefe vor und hinter der Fokusebene stehen immer im selben Verhältnis zueinander wie die Grenzen der Schärfentiefe, also wie Nah- zu Fernpunkt.

Also mal etwas für das Verständnis zur eigenen Praxis. Wenn ich mit dem 85mm bei Blende 2,8 ein Oberkörperportrait aus 350cm Entfernung mache, dann erhalte ich laut Doof-Rechner einen Ausschnitt, welcher 102cm hoch (hochkant) und 67cm breit ist. Die Tiefenschärfe erstreckt von 339cm bis 362cm, also 11cm vor und 12cm hinter den Augen des Models. OK, jetzt habe ich keine Frage mehr Ich glaube mit dem Aufschreiben sind alle Unklarheiten weg. Schön dass man sich das nochmal verinnerlicht, ich hatte gedanklich auch 1Drittel vor und 2Drittel hinter der Fokusebene verinnerlicht.
Bei rund 35m Abstand zum Model gilt dann die allgemeine Regel wieder, nur dass das eben eine ganze Schulklasse auf´s Bild passen würde (10,5m x 6,9m). Das gleiche Klassenfoto mit einem 35mm gemacht sorgt dann wieder dafür, dass die 1Drittel/2Drittel nicht mehr stimmen, sondern man von 1Neuntel/8Neuntel sprechen muss. Interessant. Also eigentlich nix neues, aber mal laut denken kann zum verinnerlichen beitragen. Danke für den Platz hier

 

[Gast_194966]

Die Tiefenschärfe erstreckt von 339cm bis 362cm, also 11cm vor und 12cm hinter den Augen des Models. OK, jetzt habe ich keine Frage mehr

Siehste!


Gruß, Matthias

 

[Siegtraud]

puh, danke an den TO für die interessante Herleitung. Für mich ist das aber zuviel Mathematik

 

[Gast_194966]

Für mich ist das aber zuviel Mathematik

Wenn man es wirklich rechnen will, geht es nicht mit noch weniger "Mathematik" (apropos: Ich sehe da nur die 4 Grundrechenarten und Klammern, das ist doch Grundschule? :nixweiss. Wenn Du aber damit sagen wolltest, dass Du es gar nicht rechnen willst: Macht ja nichts, das tue ich auch nicht. Aber mir macht es Spaß, Zusammenhänge herzuleiten, zu verstehen und zu erklären.


Gruß, Matthias

 

[Martin Messmer]

Für einfaches Dn-, Df und DΔ-Berechnen:

Dh = f^2/(k*zo)
Dn/f = 1÷(1/g ± 1/Dh)
DΔ = Df – Dn

Gibt es eine Formel DΔ(m,k,zo) auch für den «allgemeinen Fall», sprich z.B. für «nicht gut freigestellt»? —

LG und DANKE, Matthias! —

Martin

…

 

[burkhard2]

Für einfaches Dn-, Df und DΔ-Berechnen:

Dh = f^2/(k*zo)
Dn/f = 1÷(1/g ± 1/Dh)
DΔ = Df – Dn

Gibt es eine Formel DΔ(m,k,zo) auch für den «allgemeinen Fall», sprich z.B. für «nicht gut freigestellt»? —
…

Nein, du kannst ja mit den üblichen Schärfentiefeformeln (oder einem Schärfentieferechner) leicht überprüfen, dass bei großer Schärfentiefe eine Abhängigkeit von der Brennweite besteht. Am leichtesten sieht man das, wenn man bei einem Weitwinkel die Hyperfokaldistanz nimmt und dann bei gleichen Werten m, k, zo mal mit der 10fachen Brennweite rechnet. Dort reicht dann der Schärfentiefebereich keinesfalls bis Unendlich.

Man brauchst für große Schärfentiefe noch zusätzliche Informationen (z. B. Gegenstandsweite, Brennweite oder Durchmesser der Eintrittspupille).

L.G.

Burkhard.

 

[Martin Messmer]

DANKE, lieber Burkhard2

Stimmt … genauer wäre es dann wohl:

DΔ = 2*k*zo*(m+1)/(m^2–(k*zo/fc)^2)

So wird bei hyperfokalem Fotografieren etwa Df auch in etwa ∞ … und es ist ersichtlich, dass bei weiterem DΔ die Brennweite mitreden muss! —
Überdies … das hyperfokale Fotografieren – stehst Du noch immer auf «Kriegsfuß» mit ihm? Man «verliert» ja im Vordergrund eben doch fast die Weite von Dh/2 an Schärfe (?!) …

Und by the way:
Gibt es in diesem Forum eigentlich so etwas wie einen Formel-Generator, wie dies etwa auch WORD unter «Einfügen – Formeln» kennt? Fände dies fast ein MUSS, denn dieses Forum ist ziemlich genial; und es werden doch sehr viele Formeln geteilt. Bei komplexen Formeln setzt man halt ein Dutzend Klammern – aber daraus entstanden schon einige Missverständnisse …

Gehört vielleicht nicht hierhin – sorry

Liebe Grüße und alles Gute – Martin

…

 

[01af]

... und es werden doch sehr viele Formeln geteilt. Bei komplexen Formeln setzt man halt ein Dutzend Klammern – aber daraus entstanden schon einige Mißverständnisse ...

Na ja ... wer schon beim Zählen von Klammern scheitert, gehört sowieso nicht unbedingt zur Zielgruppe derer, die etwas mit Formeln anfangen können.