Zum Crop und der Brennweite

[-DaKo-]

So, hier mal ein Versuch etwas mehr Klarheit in die so landläufige brennweiten Verlängerung zu bringen. Das ganze ist relativ flott entstanden und ich würde mich freuen, wenn einige derjenigen, die den Gesetzen der geometrischen Optik aufgeschlossen sind es mal gegenprüfen würden:

Aufgabe: Ermittlung der Brennweite, die zum selben Bildwinkel (und/oder) Abbildungsmaßstab an einer Cropkamera führt wie eine Brennweite an einer KB-Kamera

Ziel: Nachweis, daß ein einfaches Multiplizieren mit dem Cropfaktor nicht ausreich.

1. Abbildungsmaßstab V=B/G=b/g mit B= Bildgröße, G= Gegenstandsgröße, b= Bildweite, g= Gegenstandsweite

2. Abbildungsgleichung 1/g+1/b=1/f mit f= Brennweite

3. Umformung aus 1. und 2. in f=V*g/(V+1)

4. Zum Crop: Der Sensor der Kamera sei um den Faktor x in jeder Dimension kleiner als der KB-Film. Der Abbildungsmaßstab muß demnach für den gleichen Bildausschnitt nur 1/x des Abbildungsmaßstabs der KB-Kamera betragen.

5. Vc (V der Cropkamera) = V/x

6. Einsetzen in 3.: fc= V/x * g / (V/x + 1) = V*g/(V+x) (!)

7. Vergleicht man nun diese Formel mit der für die KB-Kamera, so fällt folgendes aus:
f = V * g / (V + 1)
fc = V *g / (V +x)
Die "richtige" Brennweite ist also keinesfalls die einfach durch den Crop geteilte!
Im Umkehrschluß entspricht das Bild eines Objektivs mit der Brennweite F an einer Cropkamera keineswegs vom Bildwinkel genau dem Bild der Brennweite x*F an einer x-Cropkamera!

8. Zum verdeutlichen obige Rechnung nocheinmal umgekehrt, ausgehend von der Cropkamera:
Cropkamera: f = V * g / (V + 1)
KB-Kamera: fk = V * g / (V + 1/x) (!)
und NICHT wie landläufig angenommen fk = x*f = x*V*g/(V+1) oder umgeformt zum Vergleich V*g/(V/x+1/x)!

9. Die Frage nach der Relevanz: Der Unterschied besteht in den Summanden des Divisors. Der erste Summand wird nach landläufiger Meinung ebenfalls durch den Cropfaktor geteilt, genaugenommen wird er es aber nicht. Die fällt natürlich nur ins Gewicht, wenn der dortige Abbildungsmaßstab groß ist, bei kleinen Maßstäben ist der Summand vernachlässigbar (ob mit Crop oder ohne).

Zur Verdeutlichung mal eine Tabelle (es wurde eine 1,6-Crop-Kamera zugrundegelegt):
Brennweite an der Crop-Kamera 50mm nach landläufiger Meinung entsprechend 80mm an einer KB-Kamera, angegeben werden der ABbildungsmaßstab und die wirkliche Äuquivalenzbrennweite:

1:1 -> 61,5mm
1:2 -> 66,7mm
1:3 -> 69,6mm
1:4 -> 71,4mm
1:5 -> 72,7mm
1:10 -> 75,9mm
1:25 -> 78,2mm
1:50 -> 79,1mm
1:100 -> 79,5mm

Schlußfolgerung: Gerade im Nah- und Makrobereich ist die Zunahme des vermeintlichen "Brennweitengewinns" ausgesprochen gering! Ein 50er Makro entspricht also bei gleicher Gegenstandsweite keineswegs vom Bildausschnitt einem 80mm Makro an einer KB-Kamera.

Erstaunlich und bis heute war ich mir dessen selbst nicht bewußt. Würde mich freuen, wenn das mal jemand gegenrechnet!

Ist immerhin eine Sache, die für etwaige Makrokäufer mitentscheidend sein kann bei der Auswahl der Brennweite.

 

[scope]

Was mir als erstes auffällt, während ich das nachrechne, ist der Faktor x unter 4. - Wenn x der Cropfaktor ist, dann sind die einzelnen Dimensionen (x und y) nicht um diesen Faktor kleiner, sondern um Wurzel(x) !

Ich hoffe ich habe da nicht etwas mißverstanden oder überlesen, aber das wäre meine erste Anmerkung - werde erstmal weiterrechnen und berichten

Gruß, Jörg

Edit:
Das Problem, das ich sehe, ohne alles durchgerechnet zu haben, ist, dass du davon ausgehst, dass es vom Abbildungsmaßstab abhängt, wie der Bildwinkel an einer Cropkamera ist!
Aber ein 50mm Makro zeigt doch nichts anderes als ein 50mm Standard ohne Makrofunktion!
Oder anders - auch mit einem 50mm Makro kann ich im Abbildungsmaßstab 1:100 fotografieren, ohne dass sich der Bildwinkel ändert!

 

[-DaKo-]

Hmm, also ich gehe davon aus, daß der Crop gleich der Vergrößerung einer Dimmension ist und nicht der Fläche, wäre er die Vergrößerung der Fläche so würde dies die Gleichung fc=x*fk noch mehr ad absurdum führen.
Welche Dimension (oder ob man die Diagonale nimmt) sich nun um 1,6 vergrößert ist dabei egal, da im Dreieck gilt (xc)² = x² * c² = x² * (a²+b²) = (xa)² + (xb)².

Nochmal nachgeschaut:
KB entspricht a= 36mm, b= 24mm, c also 43,3mm
300D Sensor a= 22,7mm, b= 15,1mm c also 27,3mm
Der Cropfaktor 1,6 bezeichnet demnach die Änderung einer Dimension und nicht der Fläche.

 

[scope]

Der Crop führt aber nicht zur Vergrößerung einer Dimension um den Cropfaktor, sonder der gesamten Fläche um den Cropfaktor - somit sind die einzelnen Dimensionen nicht "so stark" von der Vergrößerung betroffen, wie du es annimmst

Edit von oben:
Das Problem, das ich sehe, ohne alles durchgerechnet zu haben, ist, dass du davon ausgehst, dass es vom Abbildungsmaßstab abhängt, wie der Bildwinkel an einer Cropkamera ist!
Aber ein 50mm Makro zeigt doch nichts anderes als ein 50mm Standard ohne Makrofunktion!
Oder anders - auch mit einem 50mm Makro kann ich im Abbildungsmaßstab 1:100 fotografieren, ohne dass sich der Bildwinkel ändert!

 

[-DaKo-]

Der Crop führt aber nicht zur Vergrößerung einer Dimension um den Cropfaktor, sonder der gesamten Fläche um den Cropfaktor - somit sind die einzelnen Dimensionen nicht "so stark" von der Vergrößerung betroffen, wie du es annimmst

Doch, s.o.!

Das Problem, das ich sehe, ohne alles durchgerechnet zu haben, ist, dass du davon ausgehst, dass es vom Abbildungsmaßstab abhängt, wie der Bildwinkel an einer Cropkamera ist!
Aber ein 50mm Makro zeigt doch nichts anderes als ein 50mm Standard ohne Makrofunktion!
Oder anders - auch mit einem 50mm Makro kann ich im Abbildungsmaßstab 1:100 fotografieren, ohne dass sich der Bildwinkel ändert!

Natürlich zeigt ein Makro nichts anderes als ein Standardobjektiv, aber ob ein Objektiv nun Makro heißt oder nicht macht keinen Unterschied, wenn ein 50mm Objektiv einen Maßstab von 1:4 erreicht, so ist der Bildwinkel und die Gegenstandsweite gleichgroß ... egal ob Makro oder nicht Makro Objektiv. -> Ich hätte oben anstatt des Abbildungsmaßstabs auch die Gegenstandsweite eintragen können (also den Abstand zum Motiv), mach ich einfach mal hier:

20cm -> 1:1 -> 61,5mm
30cm -> 1:2 -> 66,7mm
40cm -> 1:3 -> 69,6mm
50cm -> 1:4 -> 71,4mm
60cm -> 1:5 -> 72,7mm
110cm -> 1:10 -> 75,9mm
260cm -> 1:25 -> 78,2mm
510cm -> 1:50 -> 79,1mm
1010cm -> 1:100 -> 79,5mm

Zur Lesart: Ein 50mm Objektiv (egal ob Makro oder nicht) bildet bei 50cm Abstand im Maßstab 1/4 ab, an einer KB-Kamera entspräche dies dem Bildausschnitt eines 71,4mm Objektivs ... und nicht wie oftmals angenommen eines 80mm Objektivs.

Was obige Rechnung ja zeigen soll, ist, daß bei sehr großen Entfernungen durchaus gilt: Bildwinkel eines 50mm Objektivs an der 300D entspricht dem eines 80mm Objektivs an einer KB-Kamera, dies gilt aber offensichtlich nicht mehr im Nahbereich und schon gar nicht im Makrobereich.

 

[scope]

20cm -> 1:1 -> 61,5mm
30cm -> 1:2 -> 66,7mm
40cm -> 1:3 -> 69,6mm
50cm -> 1:4 -> 71,4mm
60cm -> 1:5 -> 72,7mm
110cm -> 1:10 -> 75,9mm
260cm -> 1:25 -> 78,2mm
510cm -> 1:50 -> 79,1mm
1010cm -> 1:100 -> 79,5mm

Zur Lesart: Ein 50mm Objektiv (egal ob Makro oder nicht) bildet bei 50cm Abstand im Maßstab 1/4 ab, an einer KB-Kamera entspräche dies dem Bildausschnitt eines 71,4mm Objektivs ... und nicht wie oftmals angenommen eines 80mm Objektivs.

Was obige Rechnung ja zeigen soll, ist, daß bei sehr großen Entfernungen durchaus gilt: Bildwinkel eines 50mm Objektivs an der 300D entspricht dem eines 80mm Objektivs an einer KB-Kamera, dies gilt aber offensichtlich nicht mehr im Nahbereich und schon gar nicht im Makrobereich.

Tut mir leid, aber so ganz bin ich noch nicht einverstanden/überzeugt..
Das hört sich für mich so an, als ob entweder das Objektiv an der KB-Kamera die Brennweite verändern würde, oder das Objektiv an der Cropkamera..
Denn wenn eine Objektiv bei sehr großen Entfernungen den Bildwinkel eines 80mm-Objektives hat, dann ändert sich dieser doch nicht im Makrobereich???

BTW: die sache mit den Dimensionen und dem Crop hab ich jetzt - war ein grundsätzlicher Denkfehler, der sich nach einfachem Nachrechnen (36/1.6 = 25,5 !!!) aufgelöst hat!

 

[-DaKo-]

Tut mir leid, aber so ganz bin ich noch nicht einverstanden/überzeugt..
Das hört sich für mich so an, als ob entweder das Objektiv an der KB-Kamera die Brennweite verändern würde, oder das Objektiv an der Cropkamera..
Denn wenn eine Objektiv bei sehr großen Entfernungen den Bildwinkel eines 80mm-Objektives hat, dann ändert sich dieser doch nicht im Makrobereich???

Habe bisher auch nicht angenommen, daß die Auswirkungen so groß sind, sind sie aber offensichtlich doch. AUf die Idee gekommen das nachzurechnen bin ich durch Traumfliegers falsche Annahme, eine Änderung des Abbildungsmaßstabs wäre linear mit einer Änderung des Bildwinkels wäre linear mit einer Änderung der Brennweite verbunden. Dies stimmt aber nicht, es gibt keine lineare Beziehung zwischen Bildwinkel, Abbildungsmaßstab und Brennweite.
Wenn also zur Erzielung desselben Bildausschnittes einer 1,6-Crop-Kamera bei einer KB-Kamera der 1,6fache Abbildungsmaßstab nötig ist, so pflanzt sich dieser Faktor nicht linear in die Brennweite fort ... da schlichtweg keine lineare Beziehung zwischen Abbildungsmaßstab und Brennweite besteht.

Die Brennweite ist natürlich fix, die Berechnung oben zeigt, daß ein 50mm Objektiv an der 300D/10D nicht bei allen Entfernungen einem 80mm Objektiv an einer KB-Kamer entspricht (!) sondern bei Kürzeren Entfernungen eben nur einem 70mm Objektiv oder einem 60mm Objektiv.

 

[Tom Bombadur]

Hillllffffeeeeeeeeeeeeeeee


Erbarrrmennnnnnnnnnnnn

Das versteht ja kein Mensch nicht!!!

 

[scope]

Das heißt, um mich nochmal überprüfen zu lassen, wenn ich mit einer KB-Kamera in sehr weiten Entfernungen bin und dann runter in den Makrobereich gehe und dann das selbe mit einer Cropkamera wiederhole, die im weiten Bereich exakt das selbe zeigt, wie die KB-Kamera.. dann sehe ich im Makrobereich nicht dasselbe????

Sag mir das der Fehler in dem Text liegt und nicht in meinem optisch-pysikalischen Grundverständniss..

 

[scorpio]

Die Brennweite ist natürlich fix, die Berechnung oben zeigt, daß ein 50mm Objektiv an der 300D/10D nicht bei allen Entfernungen einem 80mm Objektiv an einer KB-Kamer entspricht (!) sondern bei Kürzeren Entfernungen eben nur einem 70mm Objektiv oder einem 60mm Objektiv.

sorry, aber das kann ich jetzt nicht nachvollziehen. eine fixe brennweite hat einen fixen bildwinkel. oder irre ich? wieso soll sich der bildwinkel (und damit ja die brennweite) mit der entfernung ändern? kapier ich nicht.

 

[scope]

Sag ich ja - ERKLÄRUNG!

 

[scorpio]

hmmm ... irgendwie muss es aber doch stimmen. klar.
aber ungläubig wie ich nun mal bin, hab' ich grade mal mein 50 1.8 angeschraubt. leider hab' ich hier auf der dienststelle keine möglichkeit, die bilder in den rechner zu bekommen. aber ...
mit veränderung der entfernung (also des fokus) ändert sich tatsächlich der bildausschnitt. somit ja wohl auch der bildwinkel. und das bei einer festbrennweite. hm ...

 

[Daniel C.]

Hallo,

hmm, hmmm. Das ist ja alles recht interessant. Ich habe hier in der Arbeit jetzt nicht die Zeit die Annahmen nachzurechnen, auch habe ich mich mit der optischen Geometrie noch nie so wirklich auseinadergesetzt aber.... Die Herleitung scheint aber in sich schlüssig zu sein.

1. Deine Annahme, Odin, müsste sich dann auch auf Objektive an einer Non-Crop Kamera beziehen. Da die Gesetzmäßigkeiten prinzipiel die selben blieben.

2. Blickwinkel eines Objektives bleibt natürlich (denke ich zumindest) immer gleich. Natürlich ändert sich mit Veränderung der Entfernung auch der Bildausschnitt, da der Blickwinkel ja dann einen anderen Bildausschnitt ausleuchtet.

3. Wirklich nachvollziehbar ist für mich Folgendes: Je weiter ich mich von einem Objekt entferne desto mehr fällt, nominal betrachtet, der unterschiedliche Blickwinkel eines Objektives an einer Non-Crop- zum selben an einer Crop-Kamera in Gewicht. Einzig das ist der Grund, warum gerade im Nahbereich der Unterschied so gering ausfällt.

Wenn Odin, das was ich unter 3. geschrieben habe zum Ausdruck bringen wollte, ok. Ansonsten bitte näher erklären.

Gruß
Daniel

P.S. Ganz wichtiges Prinzip eines guten Managers: KISS (Keep It Stupid Simple), dass führt oft weiter als man denkt.

 

[scope]

hmmm ... irgendwie muss es aber doch stimmen. klar.
aber ungläubig wie ich nun mal bin, hab' ich grade mal mein 50 1.8 angeschraubt. leider hab' ich hier auf der dienststelle keine möglichkeit, die bilder in den rechner zu bekommen. aber ...
mit veränderung der entfernung (also des fokus) ändert sich tatsächlich der bildausschnitt. somit ja wohl auch der bildwinkel. und das bei einer festbrennweite. hm ...

Wenn ich das selbe mit meinem 17-40/4 (nur mal als Beispiel - hatte dieselbe Idee) teste, passiert das nicht...

 

[-DaKo-]

Du kannst es nicht testen, da du den Crop nicht änderst!
Der Bildwinkel eines Objektivs bleibt gleich: richtig, die Frage ist aber nach dem Verhältnis Bildwinkel/Brennweite/Abbildungsmaßstab
Man kann aus der brennweite direkt und eindeutig den Bildwinkel errechnen.
Was man nicht eindeutig bestimmen kann ist das Verhältnis Bildwinkel (und Brennweite) zum Abbildungsmaßstab! Der Crop verringert nun ja nicht den Bildwinkel mit 1,6 sondern den nötigen Abbildungsmaßstab, und über diesen erst den Bildwinkel.
Ex geht hier nicht um irgendwelche Brennweiten/bildwinkelveränderungen an einer Kamer mit einem Objektiv, es geht schlicht um die Bestimmung der KB-äquivalenten Brennweite.

Der Bildwinkel spielt oben gar keine Rolle, die Herleitung geschah lediglich über die Brennweite. Ich kann auch statt mit der Brennweite mit dem fixen Bildwinkel rechnen ... mach ich gleich mal.

 

[AndreasB]

Vielleicht findet sich ja mal jemand, der sowas ganz praktisch ausprobiert und sich nicht nur auf theoretische Berechnungen verlässt .............
Dann wüsste man ganz einfach, wie es tatsächlich ist ...................

 

[-DaKo-]

Och nö, sowas ist doch nicht theoretisch ... wenn du mal wüßtest was theoretisch ist ...

Wenn sich ein makroskopisches Phänomen der klassischen Physik errechnen läßt, so tritt es auch auf (außer seine Auswirkungen sind kleiner als der Fehler bei der Beobachtung). SO ist das nunmal.

Es ging hier aber weniger darum das Phänomen zu diskutieren auf seine Glaubwürdigkeit sondern vielmehr um die Schlüssigkeit der Herleitung.

Naja, vielleicht mach ich ja gleich mal ein paar Bilder, indem ich einen Crop simuliere und nur jeweils 1/1,6 der inneren Bildpunkte der 300D nehme. Praktisch wäre natürlich ein Objektiv, daß nicht die Brennweite beim Fokussieren ändert.

 

[scorpio]

Praktisch wäre natürlich ein Objektiv, daß nicht die Brennweite beim Fokussieren ändert.

eben genau das meinte ich ja mit meinem posting weiter oben, was ich beobachtete: beim fokussieren ändert sich der bildwinkel, also auch die brennweite. und das an einer "festbrennweite".
mein fazit: es gibt gar keine festbrennweiten *eg*

 

[AndreasB]

Hast Du kein analoges Canon-Gehäuse? Dann wäre es doch ganz direkt zu vergleichen .... oder denke ich da zu praktisch-naiv .....?

 

[-DaKo-]

So, mal ein wirklich einfaches Beispiel:

Die Gültigkeit der Formel f=V*g/(V+1) ist ja nunmal erwiesen. Umgeformt zum Abbildungsmaßstab ergibt sich V=f/(g-f)

So, nehmen wir nunmal einfach ein 50mm Objektiv an einer 300D bei 1m Entfernung, wir erhalten einen Maßstab von ca. 1/19.

Um nun denselben Bildausschnitt mit einer KB-Kamera zu erhalten brauchen wir einen Abbildungsmaßstab, der genau 1,6mal so groß sein muß. Aus f=V*g/(V+1) (mit V=1,6*1/19 und g immer noch 1m) wird eine Brennweite an der KB-Kamera von ca. 77,67mm nötig.

Gehen wir nun näher ran an das Motiv, z.B. auf 25cm, so ist der Abbildungsmaßstab des 50mm Objektivs an der 300D ca. 1/4. Für denselben Bildausschnitt brauchen wir also an der Analogkamer einen Maßstab von 1,6*1/4 und somit bei gleicher Entfernung nur 71,43mm.

Gehe ich nun noch weiter ran ...

Das Problem, dies wirklich zu Prüfen ist, daß man tatsächlich eine 2 Kameras mit einem entsprechenden Cropunterschied haben müßte und ein Zoomobjektiv, dessen Brennweitenangaben man vertrauen kann, seine Brennweite nicht beim zoomen ändert und deren Vordere Hauptebene bekannt ist (wegen der Ermittlung der richtigen Gegenstandsweite).

So ganz wohl ist mir bei der Sache ja selbst nicht, die Auswirkungen im Makrobereich sind schon heftig, eigentlich zu heftig, daher ja die Frage, ob jemand die Herleitung mal gegenprüfen kann.

eben genau das meinte ich ja mit meinem posting weiter oben, was ich beobachtete: beim fokussieren ändert sich der bildwinkel, also auch die brennweite. und das an einer "festbrennweite".
mein fazit: es gibt gar keine festbrennweiten

Doch, gäbe es, man müßte dann aber mit dem Ganzen Objektiv fokussieren und nicht nur mit einzelnen Linsengruppen.