Zerstreuungskreis berechnen

[Gast_414677]

Hallo Leute,

ich suche eine Formel, die folgendes berechnet:

Bekannt sind:
Brennweite f
Blendenzahl k
Fokusentfernung d
Entfernung eines Punkts g

Daraus will ich berechnen, wie groß das Bild des Punktes
auf dem Sensor ist. Für d=g müsste also 0 herauskommen.
(Der Punkt wird dann als Punkt abgebildet.)

DanielDrs

 

[01af]

Eine genaue Formel anzugeben, ist nicht möglich. Unter Vernachlässigung von Hauptebenenabstand, Beugungseffekten, Vignettierung und Abbildungscharakteristik gilt folgende, idealisierte Formel:

z = p * (f/k) * |B(f, d) – B(f, do)| / (B(f, d) + (p – 1) * f)

Dabei sind:

z = Streukreisdurchmesser
p = Pupillenmaßstab
f = Brennweite
k = Blendenzahl
d = Entfernung des Punktes, für den der Streukreisdurchmesser berechnet werden soll
do = Entfernung, auf die das Objektiv fokussiert ist
B(f, d) = Bildweite bei Brennweite f und Einstellentfernung d:

B(f, d) = d/2 – sqrt(d * (d/4 – f)) für m <= 1
B(f, d) = d/2 + sqrt(d * (d/4 – f)) für m >= 1

(Dabei steht sqrt(x) für die Quadratwurzel von x und m für den Abbildungsmaßstab. Für m = 1 sind beide Formeln äquivalent, weil dann f = d/4 gilt und somit der Term unter der Wurzel verschwindet.)

Ist der Pupillenmaßstab des Objektives nicht bekannt, so setze vereinfachend p = 1 ein. Einen nennenswerten Einfluß auf den Streukreisdurchmesser hat der Pupillenmaßstab sowieso nur im Nahbereich.

 

[Waartfarken]

Wenn Du es "im Kopf" ausrechnen möchtest und außerhalb des Nahbereichs bleibst:

Der Zerstreuungskreis z∞ eines Punkts in g=∞ ist ganz einfach:
z∞=P*m, mit P=Durchmesser der Eintrittspupille und m=Abbildungsmaßstab in der Fokusentfernung d.

In beliebiger Entfernung g ist der Zerstreuungskreis:
z=z∞*|1-d/g|, mit d und g wie von Dir definiert.

Die Eintrittspupille ist ganz einfach Brennweite und Blendenzahl zu berechnen, der Abbildungsmaßstab im Fernbereich einfach als m=f/d. Im Nahbereich müsstest Du die Linsengleichung bemühen, aber bei vielen Objektiven ändert sich die Brennweite im Nahbereich (und ist i.a. unbekannt), und der Pupillenmaßstab wäre zu berücksichtigen. Da wird's dann also sowieso haariger.

 

[Gast_473664]

Bekannt sind:
Brennweite f
Blendenzahl k
Fokusentfernung d
Entfernung eines Punkts g

Daraus will ich berechnen, wie groß das Bild des Punktes
auf dem Sensor ist.

Es gibt eine einfache Faustregel:

Durchmesser des Punktbildes = | (1/g - 1/d) * f^2 / k | .

Dabei ist d die Gegenstandsweite. Der Fehler liegt unter 20%, wenn der Pupillenmaßstab des Objektivs größer als 1/2 ist und wenn d und g jeweils größer als die zehnfache Brennweite sind.

 

[Gast_414677]

Vielen Dank!!!

Ich war in einem früheren Leben Mathematiker und komme da gut durch.
Im Netz habe ich nichts dazu gefunden, obwohl es etliche Herleitungen
zur Berechnung der Schärfentiefe gibt.

Ich muss mir das ganze mal in Ruhe ansehen.

DanielDrs

 

[Waartfarken]

Ich war in einem früheren Leben Mathematiker und komme da gut durch. Im Netz habe ich nichts dazu gefunden, obwohl es etliche Herleitungen zur Berechnung der Schärfentiefe gibt.

Der Verlauf von z(g) ist doch ein Zwischenergebnis bei der Berechnung der Schärfentiefe, und müsste in den Herleitungen auftauchen. Er ist aber auch ganz einfach selber herzuleiten. Man braucht nicht mehr als Strahlensatz und Linsengleichung (die selber auch nur dem Strahlensatz entstammt).

 

[anathbush]

Du musst eben aufpassen, dass Du die Beugung nicht vernachlässigst, wenn die Blende (im Verhältnis zur gewünschten Auflösung) sehr weit geschlossen wird.

 

[01af]

Ich war in einem früheren Leben Mathematiker und komme da gut durch. Im Netz habe ich nichts dazu gefunden ...

Dann hast du offenbar HIER noch nicht gesucht.

 

[aliatus]

Oder hier http://www.erik-krause.de/schaerfe.htm

 

[Gast_414677]

Ich habe jetzt doch einige Verständnisprobleme mit der Formel aus dem
ersten Beitrag von 01af.

Für kleine d muss ich die Wurzel aus negativen Zahlen ziehen.

Nehmen wir mal jetzt mal an, dass m<=1 und sich der Punkt von
der Kamera wegbewegt. Dann geht d gegen unendlich. Dann nähert
sich der Wert unter der Wurzel in B(f,d) immer weiter an d*d/4 an.
Damit nähert sich die Wurzel an d/2 an, und B(f,d) geht gegen 0.
Der gesamte Bruch in z würde dann (bei p=1) gegen gegen unendlich
gehen.

Das würde aber bedeuten, dass der Zerstreuungskreis für wachsende d
beliebig groß wird, was meinem Gefühl widerspricht.

Ich denke eher, dass für wachsende d der Wert von z ebenfalls anwächst,
aber dass er gegen einen festen Wert konvergiert.

DanielDrs

 

[01af]

Ich war in einem früheren Leben Mathematiker ...

Hm ... wohl eher doch nicht.

Für kleine d muß ich die Wurzel aus negativen Zahlen ziehen.

Was darauf hindeutet, daß d eben nicht beliebig klein werden kann. Tatsächlich gibt's nur für d >= 4f ein reelles Bild ... genauer: für d >= 4f + HH'. Man müßte also den Hauptebenenabstand HH' erst von d abziehen, bevor man damit in die Formeln gehen kann. Dummerweise kennt unsereins die Hauptebenenabstände unserer Objektive in der Regel nicht, also vernachlässigen wird sie kurzerhand. Für kleine Abbildungsmaßstäbe, also im Fernbereich, ist das auch gar nicht weiter tragisch.

Nehmen wir mal jetzt mal an, daß m <= 1 und sich der Punkt von der Kamera wegbewegt. Dann geht d gegen unendlich. Dann nähert sich der Wert unter der Wurzel in B(f,d) immer weiter an d*d/4 an. Damit nähert sich die Wurzel an d/2 an, und B(f,d) geht gegen 0.

Tja ... Grenzwertbetrachtungen sind nicht so einfach, gell? Ich komme da auch immer wieder ins Schleudern, aber glücklicherweise kenne ich in diesem Falle die Grenzwerte. Für d —> ∞ geht b = B(f, d) gegen f (und nicht gegen null). Siehe auch die Einfache Linsenformel.

Das heißt, für den Streukreisdurchmesser z unscharf abgebildeteter Punkte im unendlichen bei Fokussierung auf do gilt (für p = 1) die stark vereinfachte Formel:

z = (B(f, do) – f) / k

... wie immer unter Vernachlässigung von Hauptebenenabstand, Beugungseffekten, Vignettierung und Abbildungscharakteristik.

 

[Gast_414677]

AW: Re: Zerstreuungskreis berechnen

Für d —> ∞ geht b = B(f, d) gegen f (und nicht gegen null).

Ja, stimmt der Grenzwert geht gegen f.

DanielDrs