Berechnung (math.) - Brennweite/Bildwinkel

[hypernotus]

Liebe Community,

ich möchte wissen ob es hier Profis unter Euch gibt, die mir für folgende Fragestellung eine Berechnungsformel liefern könnten:

Ich möchte wissen wie ich den benötigten Abstand zwischen Kamera und Objekt berechnen kann um bei verschiedenen Brennweiten (23mm auf APS-C/35mm auf APS-C/50mm auf APS-C) immer den gleichen Ausschnitt des Objekts zu erhalten.
Zusätzlich interessiert mich ob mir jemand erklären welchen modifizierenden Einfluss der Bildwinkel auf diese Berechnung und das Endergebnis im Ausschnitt auf dem Sensor nimmt.

Vielen Dank!

MusikLeben

 

[CubeEdge]

Das lässt sich doch mit ein paar Fingerübungen aus den bekannten Gleichungen der geometrischen Optik herleiten:

Linsengleichung:
1/f = 1/g + 1/b

Abbildungsmaßstab:
B/b = G/g

Mit:
f = Brennweite (steht auf dem Objektiv)
g = Gegenstandsweite (Entfernung zum Motiv)
b = Bildweite (als kamerainterne Größe einfach aus der Gleichung eliminieren)
B = Bildgröße (Sensorformat, prinzipiell egal, ob du Breite, Höhe oder Diagonale betrachtest)
G = Gegenstandsgröße (ist die Motivgröße)

Viel Spaß beim Umstellen und Einsetzen der Größen!

 

[whr_]

Die Linsengleichung wurde genannt, die die Frage grundsätzlich beantwortet. Ergänzen sollte man, daß g und b jeweils bis zur gegenstands- bzw. bildseitigen Hauptebene gemessen werden. Wo die liegen, weiß nur der Hersteller (und gibt es nicht an), es ist jedenfalls weder die Front- oder Rücklinse noch eine gemeinsame Ebene irgendwo im Objektiv.

Sobald nennenswerte Verzeichnung auftritt (bei 23 mm an DX sicherlich), stimmt diese einfache Bechreibung auch nicht mehr ganz.

Zusätzlich interessiert mich ob mir jemand erklären welchen modifizierenden Einfluss der Bildwinkel auf diese Berechnung und das Endergebnis im Ausschnitt auf dem Sensor nimmt.

Kürzere Brennweite = größerer Bildwinkel = mehr Räumlichkeit des Objekts (wenn es nicht flach ist) und mehr vom Hintergrund im Bild

 

[wumi]

b = Bildweite (als kamerainterne Größe einfach aus der Gleichung eliminieren)

Wurde z.B. hier ganz unten gemacht: http://de.wikipedia.org/wiki/Linsengleichung. Die letzte Gleichung ist dann auch genau diejenige, die man für die gewünschte Berechnung benötigt.

Falls es nicht gerade um um Makrofotografie geht, spielt die "-1" keine größere Rolle mehr (z.B. bei Gegenstandsweite größer 10x Brennweite) und kann vernachlässigt werden. Dann vereinfacht sich das Ganze zu einem simplen linearen Zusammenhang G = (g/f) * B.

Nimmt man zwei dieser Gleichungen für zwei Kameras und als Ziel die gleiche Gegenstandsgröße ergibt sich damit:

(g1 / f1) * B1 = (g2 / f2) * B2

Ist für Kamera 1 alles bekannt, und man will g2 für Kamera 2 wissen, löst man also nach g2 auf:

g2 = g1 * (f2 / f1) * (B1 / B2)

D.h. das Problem reduziert sich einfach darauf, die Gegenstandsweite der ersten Kamera mit dem Brennweitenverhältnis 2-zu-1 und Bildgrößenverhältnis 1-zu-2 zu multiplizieren, um die Gegenstandsweite der zweiten Kamera zu bekommen. Bei gleicher Sensorgröße vereinfacht es sich nochmals zu

g2 = g1 * (f2 / f1)

D.h. der Abstand ist dann einfach proportional zur Brennweite.

Edit: Ich habe gerade mal nachgerechnet: Legt man die genauere Formel mit der -1 zugrunde, kommt für identische Sensorgröße immer noch die gleiche Formel heraus (logisch, weil sich die -1 dann auf beiden Seiten der Doppelgleichung aufheben). Aber selbst für unterschiedliche Sensorgrößen dürfte es relativ egal sein, weil man durch die Unsicherheit, von wo man aus g messen muss und wg. Verzeichnungen (beides siehe Post von whr_) sowieso schon einige Ungenauigkeiten bekommt.

Korrigiert mich, wenn ich mich irgendwo vertan habe.

Noch dazu:

Kürzere Brennweite = größerer Bildwinkel = mehr Räumlichkeit des Objekts (wenn es nicht flach ist) und mehr vom Hintergrund im Bild

Hier gibt es ein bisschen Anschauungsmaterial dazu: http://annawu.com/blog/2011/09/focal-length-comparison/. Mit ein bisschen Suchen findet man bestimmt noch mehr... Edit: Flash-Animation: http://www.photocourse.com/itext/perspective/

 

[burkhard2]

Abbildungsmaßstab:
B/b = G/g

Du meintest vermutlich m=B/G=b/g.

Damit bekommt man

g = m / f + f

(von der objektseitigen Hauptebene gemessen), oder einfach m/f, vom objektseitigen Brennpunkt aus.

Bildwinkel: 2 arctan(a/f/2/(m+1)),

a=Sensorhöhe, -breite, -diagonale, je nach gwünschtem Winkel.


Bei vielen Objektiven ändert sich allerdings beim Fokussieren die Brennweite.

 

[CubeEdge]

Du meintest vermutlich m=B/G=b/g.

Nö, meinte ich eigentlich nicht. Da beide Aussagen aber äquivalent sind, isses mir auch völlig wurscht....

 

[burkhard2]

Nö, meinte ich eigentlich nicht. Da beide Aussagen aber äquivalent sind, isses mir auch völlig wurscht....

Dann streich doch einfach "Abbildungsmaßstab", wenn du den gar nicht meinst.

L.G.

Burkhard.